Funkcja z pierwiastkiem

[tomika92]

Mam równanie do obliczenia:

\(\displaystyle{ \sqrt{x+1}+ x^{2} - 2x - 1 = 0}\)

Zrobiłam tak:
\(\displaystyle{ \sqrt{x+1} = -x^{2} + 2x + 1}\)

Żeby pozbyć się pierwiastka podniosłam obie strony do kwadratu i wyszło
\(\displaystyle{ x+1 = x^4 -4x^3+2x^2+4x+1}\)
\(\displaystyle{ -x^4+4x^3-2x^2-3x=0}\)

Czy do tej pory jest ok? Ewentualnie jak ruszyć dalej?

[Janusz Tracz]

Warto napisać założenia gdy wykonuje się takie przekształcenia. Z drugiej strony ewentualnych odpowiedzi i tak będzie skończona ilość więc na koniec można je sprawdzić ręcznie. Tak czy inaczej jest nieźle. Teraz zauważ, że \(\displaystyle{ x=0}\) jest oczywistym kandydatem na rozwiązanie sprawdź go a potem podziel przez \(\displaystyle{ x \neq 0}\). Równanie wielomianowe które wyjdzie trzeba będzie rozwiązać. Sprawdzaj dzielniki wyrazu wolnego.

[JHN]

Albo trochę inaczej, nie będzie potrzeby rozpatrywania nieujemności stron
\(\displaystyle{ \sqrt{x+1}+ x^{2} - 2x - 1 = 0}\)
Niech \(\displaystyle{ \sqrt{x+1}=t\wedge t\ge 0}\)
wtedy \(\displaystyle{ x=t^2-1}\)
i równanie przyjmie postać
\(\displaystyle{ t+(t^2-1)^2-2(t^2-1)-1=0}\)
\(\displaystyle{ t^4-4t^2+t+2=0}\)
łatwo zauważyć, że jego rozwiązaniami są \(\displaystyle{ 1}\) i \(\displaystyle{ -2}\), pozostałe do znalezienia...

Pozdrawiam

[a4karo]

Albo trochę inaczej, nie będzie potrzeby rozpatrywania nieujemności stron
\(\displaystyle{ \sqrt{x+1}+ x^{2} - 2x - 1 = 0}\)
Niech \(\displaystyle{ \sqrt{x+1}=t\wedge t\ge 0}\)
wtedy \(\displaystyle{ x=t^2-1}\)
i równanie przyjmie postać
\(\displaystyle{ t+(t^2-1)^2-2(t^2-1)-1=0}\)
\(\displaystyle{ t^4-4t^2+t+2=0}\)
łatwo zauważyć, że jego rozwiązaniami są \(\displaystyle{ 1}\) i \(\displaystyle{ -2}\), pozostałe do znalezienia...

Pozdrawiam

Tak nie do końca. Kiedy `\sqrt{x+1}=-2`?

[tomika92]

Przekształciłam to w formę:
\(\displaystyle{ x(x-3)(x^2-x-1) = 0}\)
Więc dostałam 4 rozwiązania
\(\displaystyle{ x _{1} = 0, x _{2} = 3, x _{3} = (1- \sqrt{5})/2, x _{4} = (1+ \sqrt{5})/2}\)

Na pierwszy rzut oka widać że 0 spełnia to równanie, a reszta? Jak do tego dojść?

[Janusz Tracz]

Przekształciłam to w formę:
\(\displaystyle{ x(x-3)(x^2-x-1) = 0}\)
Więc dostałam 4 rozwiązania
\(\displaystyle{ x _{1} = 0, x _{2} = 3, x _{3} = (1- \sqrt{5})/2, x _{4} = (1+ \sqrt{5})/2}\)

Wygląda to ok.

Na pierwszy rzut oka widać że 0 spełnia to równanie, a reszta? Jak do tego dojść?

to czyli które? Wiesz do którego równania masz podstawić te liczby? Masz czterech kandydatów na rozwiązania i podstawiasz je do pierwszego pierwotnego równania i patrzysz czy działa.

[tomika92]

Ok, czyli wychodzi
\(\displaystyle{ x = 0}\) i \(\displaystyle{ x = (1+ \sqrt{5})/2}\)

[JHN]

...Niech \(\displaystyle{ \sqrt{x+1}=t\wedge t\ge 0}\)
...
\(\displaystyle{ t^4-4t^2+t+2=0}\)
łatwo zauważyć, że jego rozwiązaniami są \(\displaystyle{ 1}\) i \(\displaystyle{ -2}\), pozostałe do znalezienia...

Tak nie do końca. Kiedy `\sqrt{x+1}=-2`?

Zgoda, nie do końca rozwiązałem równanie zmiennej \(\displaystyle{ t}\)... , ale na pewno nie napisałem \(\displaystyle{ \sqrt{x+1}=-2}\)

Miłego wieczoru!

[Dilectus]

Zrobiłam tak:
\(\displaystyle{ \sqrt{x+1} = -x^{2} + 2x + 1}\)

Jeśli narysować wykresy lewej i prawej strony równania, łatwo widać, że ma ono dwa pierwiastki.

Żeby pozbyć się pierwiastka podniosłam obie strony do kwadratu i wyszło
\(\displaystyle{ x+1 = x^4 -4x^3+2x^2+4x+1}\)
\(\displaystyle{ -x^4+4x^3-2x^2-3x=0}\)

Natomiast wielomian

\(\displaystyle{ -x^4+4x^3-2x^2-3x=0}\)

ma cztery pierwiastki rzeczywiste

Dlaczego?

[janusz47]

Mamy dwie metody rozwiązywania równań:

- metoda równań równoważnych
-metoda starożytnych.

Rozwiązując równanie niewymierne jedną z tych metod, podnieśliśmy obie strony równania do drugiej potęgi.

Otrzymaliśmy równanie stopnia czwartego. Działanie to wprowadziło dodatkowe pierwiastki.

Sprawdzenie przez podstawienie do równania wyjściowego tych pierwiastków, pozwoliło na wyeliminowanie pierwiastków, które nie sprawdzają równanie wyjściowe.

[a4karo]

Wyliczanie pierwiastków ze złotej liczby i ich towazrzyszy nie jest zadaniem fascynującym.

1. pokażemy, że równanie nie ma ujemnych pierwiastków:
Dla \(\displaystyle{ -1\leq x<0}\) mamy `x+1<0`, więć `\sqrt{x+1}>x+1`
Zatem
`sqrt{x+1}+x^2-2x-1>x+1+x^2-2x-1=x^2-x>0`

czyli \(\displaystyle{ \frac{1-\sqrt{5}}{2}}\) nie jest pierwiastkiem.
Zero jest pierwiastkiem , trójka nie - to sprawdzamy prosto

Napiszmy równie w postaci `\sqrt{x+1}+(x-1)^2=2`. Widać, że lewa strona rośnie do nieskończoności przy `x>1` a w jedynce ma wartość `\sqrt2<2`. Zatem równanie ma dokłądnie jedno rozwiązanie i musi im być \(\displaystyle{ \frac{1+\sqrt{5}}{2}}\)

[janusz47]

Skuteczny sposób na wyeliminowanie niechcianych pierwiastków, ale czy osiągalny dla przeciętnego ucznia szkoły średniej?

[a4karo]

Po chwili refleksji:

pokazanie, że \(\displaystyle{ x_3=\frac{1-\sqrt5}{2}}\) nie jest pierwiastkiem jest dość trywialne:

\(\displaystyle{ \sqrt{x_3+1}+x_3^2-2x_3-1=\sqrt{x_3+1}+\red{x_3^2-x_3-1}-x_3>0}\)
bo czerwone wyrażenie jest zerem (pamiętamy wszak, jakiego równania pierwiastkiem jest `x_3`).

Podobnie pokazuje się, że \(\displaystyle{ x_4=\frac{1+\sqrt5}{2}}\) jest pierwiastkiem:

\(\displaystyle{ \sqrt{x_4+1}+x_3^2-2x_3-1=\sqrt{x_4+1}+\red{x_4^2-x_4-1}-x_4=\sqrt{x_4+1}-x_4=\frac{\red{x_4+1-x_4^2}}{\sqrt{x_4+1}+x_4}=0}\)

Dodano po 35 minutach 38 sekundach:
A jak już to wszystko się zauważyło, to przychodzi takie rozwiązanie:
\(\displaystyle{
\sqrt{x+1}+x^2-2x-1=\sqrt{x+1}-x +x^2-x-1=\sqrt{x+1}-x - (\sqrt{x+1}-x)(\sqrt{x+1}+x)\\
=(\sqrt{x+1}-x)(1-\sqrt{x+1}-x)=(\sqrt{x+1}-x)\left(\frac{1-x-1}{1+\sqrt{x+1}}-x\right)\\
=-x(\sqrt{x+1}-x)\left(\frac{1}{1+\sqrt{x+1}}+1\right)
}\)

Dalej już elementarz

Dodano po 57 sekundach:
To ostatnie jest na tyle elementarne, że jest w zasięgu każdego licealisty