Witam, nie przedłużając zacznę wyjaśniać co odkryłem
Mamy funkcję kwadratową \(\displaystyle{ f(x)=ax^{2}+bx+c}\), której współczynniki są rzeczywiste
Mamy również podane jedno z miejsc zerowych tego wielomianu. Nazwę je \(\displaystyle{ x_{1} }\). Skoro funkcja kwadratowa \(\displaystyle{ f}\) ma jedno miejsce zerowe, to znaczy, że musi mieć również i drugie miejsce zerowe, którego nie znamy. Nazwę je \(\displaystyle{ x_{2} }\)
A własność którą zauważyłem mówi, że:
Dla \(\displaystyle{ x_{1}=0}\)
\(\displaystyle{ f(x)=ax^{2}+bx+c=x(ax+b)}\), lub dla \(\displaystyle{ x_{1} \neq 0}\)
\(\displaystyle{ f(x)=ax^{2}+bx+c=a(x-x_{1})(x-x_{2})=(x-x_{1})\biggl(ax- \frac{c}{x_{1}}\biggr) }\)
dowód:
Ze wzorów Viète’a:
\(\displaystyle{ x_{1} \cdot x_{2}= \frac{c}{a} }\)
Dla \(\displaystyle{ x_{1}=0}\) wychodzi, że \(\displaystyle{ c=0}\), więc wtedy funkcja kwadratowa przyjmuje postać \(\displaystyle{ f(x)=ax^{2}+bx=x(ax+b)}\)
Dla \(\displaystyle{ x \neq 0}\) wychodzi, że \(\displaystyle{ x_{2}= \frac{c}{ax_{1}} }\), co podstawiamy do równania \(\displaystyle{ f(x)=ax^{2}+bx+c=a(x-x_{1})(x-x_{2})}\)
Wychodzi \(\displaystyle{ f(x)=ax^{2}+bx+c=a(x-x_{1})\biggr(x-\frac{c}{ax_{1}} \biggr)=(x-x_{1})\biggl(ax- \frac{c}{x_{1}}\biggr)}\)
qed
Jednym z ciekawszych zastosowań jakie znalazłem, jest szybsze rozbijanie funkcji kwadratowej na postać iloczynową. Mamy przykładowo \(\displaystyle{ f(x)=4x^{2}-5x+1}\), gdzie łatwo zauważyć, że \(\displaystyle{ f(1)=0}\), więc \(\displaystyle{ x_{1}=1}\)
Podstawiając do wzoru \(\displaystyle{ f(x)=4x^{2}-5x+1=(x-1)\biggl(4x- \frac{1}{1} \biggr)=(x-1)(4x-1)}\)
Więc mam kilka pytań:
1. Czy jest to powszechnie znana i używana własność? Powiem szczerze, nigdy z czymś takim nie spotkałem się w książkach, dyskusjach ani nawet w internecie
2. Jeżeli tak, to czy ma to jakąś nazwę?
Dziękuję za przeczytanie
Własność dotycząca rozbijania funkcji kwadratowej na postać iloczynową
- cmnstrnbnn
- Użytkownik
- Posty: 84
- Rejestracja: 4 mar 2019, o 20:45
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Lublin
- Podziękował: 11 razy
- Pomógł: 1 raz
-
- Użytkownik
- Posty: 23496
- Rejestracja: 8 kwie 2008, o 22:04
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: piaski
- Podziękował: 1 raz
- Pomógł: 3264 razy
Re: Własność dotycząca rozbijania funkcji kwadratowej na postać iloczynową
Dla mnie to tylko zastosowanie wzorów (wzoru) Viete'a. Gdy znamy jedno m.zerowe to ze wspomnianego wzoru (mamy dwa do wyboru) wyznaczamy też drugie (niekoniecznie różne od pierwszego).
Ps. Nie nazwałbym tego ,,rozbijaniem".
Ps. Nie nazwałbym tego ,,rozbijaniem".
Ostatnio zmieniony 29 lip 2020, o 14:22 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.
Powód: Poprawa wiadomości.
- cmnstrnbnn
- Użytkownik
- Posty: 84
- Rejestracja: 4 mar 2019, o 20:45
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Lublin
- Podziękował: 11 razy
- Pomógł: 1 raz
Re: Własność dotycząca rozbijania funkcji kwadratowej na postać iloczynową
Faktycznie, słowo "rozbijanie" nie brzmi w tym przypadku najlepiej. Zgadza się również, że jest to zastosowanie wzoru Viete'a. Lecz uznałem, że warto podzielić się obserwacjami, ponieważ jest to oszczędność paru linijek obliczeń podczas zmiany postaci ogólnej funkcji kwadratowej, na postać iloczynową
-
- Administrator
- Posty: 34294
- Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 5203 razy
Re: Własność dotycząca rozbijania funkcji kwadratowej na postać iloczynową
Oszczędność jest względna, bo musisz pamiętać wzór, który chcesz zastosować. Takich obserwacji można poczynić wiele, ale na ogół się tego nie robi, bo prościej jest pamiętać tylko podstawowe własności, a resztę wyznaczać "w locie".
JK
JK