równanie dwukwadratowe z parametrem

[waliant]

Dla jakiego parametru \(\displaystyle{ p}\) równanie \(\displaystyle{ x^4+2(p-2)x^2+p^2-1=0}\) ma dwa różne rozwiązania?

Warunki:
1) \begin{cases} \Delta = 0\\ \frac{-b}{2a}>0 \end{cases}

lub

2) \begin{cases} \Delta > 0\\ \frac{c}{a}<0 \end{cases}


Z pierwszego wychodzi mi \(\displaystyle{ p= \frac{5}{4} }\) a z drugiego \(\displaystyle{ p \in \left( -1;1\right) }\).
Zatem rozwiązaniem powinno być \(\displaystyle{ p \in \left( -1;1\right) \cup \frac{5}{4} }\) a w rozwiązaniach jest \(\displaystyle{ p \in \left( -1;1\right) \cup \frac{-5}{4} }\).

Pytanie gdzie jest błąd?

[Jan Kraszewski]

Zatem rozwiązaniem powinno być \(\displaystyle{ p \in \left( -1;1\right) \cup \frac{5}{4} }\) a w rozwiązaniach jest \(\displaystyle{ p \in \left( -1;1\right) \cup \frac{-5}{4} }\).

Jak już, to \(\displaystyle{ p \in \left( -1;1\right) \cup \left\{ \frac{-5}{4} \right\} }\).

JK

[waliant]

Tak, to oczywista pomyłka, a Pana odpowiedź w niczym nie pomaga...

[a4karo]

Tak, to oczywista pomyłka, a Pana odpowiedź w niczym nie pomaga...

Oczywistych pomyłek nie robi się dwa razy

[Premislav]

No to wyróżnik równy zero oznacza, że
\(\displaystyle{ 4(p-2)^{2}-4\left(p^{2}-1\right)=0}\), tj. \(\displaystyle{ -16p+20=0}\), z tego na pewno nie wychodzi \(\displaystyle{ -\frac{5}{4}}\)… Widocznie błąd w odpowiedziach. Zresztą jeśli masz wątpliwości, to możesz sobie podstawić bezpośrednio \(\displaystyle{ p=-\frac{5}{4}}\) i sprawdzić, że warunki zadania nie są spełnione.

[Niepokonana]

Ale dlaczego w pierwszym delta musi być równa zero? Nie rozumiem.

[Premislav]

Jeśli równanie kwadratowe zmiennej \(\displaystyle{ t=x^{2}}\) ma dokładnie jedno rozwiązanie \(\displaystyle{ t_{0}}\), które jest liczbą dodatnią, to odpowiadające mu równanie zmiennej \(\displaystyle{ x}\) ma dokładnie dwa rozwiązania, \(\displaystyle{ \sqrt{t_{0}}}\) oraz \(\displaystyle{ -\sqrt{t_{0}}}\).