Równanie z parametrem

[41421356]

Wyznaczyć wartość parametru \(\displaystyle{ a\in\mathbb{R}}\), dla którego równanie:

\(\displaystyle{ x^2+x+a=0 \ \ , \ \ -1\leq x\leq 1}\)

ma rozwiązanie.

Mam pytanie, jak to rozwiązać z wykorzystaniem wzorów Viete'a?

[JHN]

... jak to rozwiązać z wykorzystaniem wzorów Viete'a?

Po spełnieniu oczywistego \(\displaystyle{ \Delta \ge 0}\) mamy mieć
A) dwa rozwiązania/powójne
\(\displaystyle{ \begin{cases} x_1+1 \ge 0\\x_2+1 \ge 0 \end{cases}\wedge \begin{cases} x_1-1 \le 0\\x_2-1 \le 0 \end{cases} }\)

\(\displaystyle{ \begin{cases} (x_1+1)(x_2+1) \ge0 \\(x_1+1)+(x_2+1) \ge 0 \end{cases}\wedge \begin{cases} (x_1-1)(x_2-1) \ge0 \\(x_1-1)+(x_2-1) \le 0 \end{cases} }\)

i do wzorów Viete'a blisko

B) jedno z dwóch

\(\displaystyle{ \left( \begin{cases} x_1+1 < 0\\x_2+1 \ge 0 \end{cases}\wedge \begin{cases} x_1-1 < 0\\x_2-1 \le 0 \end{cases}\right)\vee
\left( \begin{cases} x_1+1 \ge 0\\x_2+1 > 0 \end{cases}\wedge \begin{cases} x_1-1 \le 0\\x_2-1 > 0 \end{cases}\right)}\)
i analogicznie jak w A), z kłopotami dla równości w nierównościach...


Pozdrawiam
PS. Ale ja bym jednak narysował \(\displaystyle{ y_L=-x^2-x \wedge x\in[-1;\ 1]}\) i "przejechał windą" \(\displaystyle{ y_P=a}\)

[Jan Kraszewski]

Mam pytanie, jak to rozwiązać z wykorzystaniem wzorów Viete'a?

A muszą być wzory Viete'a? Bo bez jest dużo prościej, w zasadzie w pamięci można to rozwiązać.

JK

[41421356]

Dziękuję za odpowiedzi. Wiem, że bez wzorów Viete'a można to w prosty sposób oszacować:

\(\displaystyle{ -1\leq x\leq1 \\
-0,5\leq x+0,5\leq 1,5 \\
0\leq (x+0,5)^2\leq 2,25 \\
-0.25\leq (x+0,5)^2-0,25\leq 2 \\
-0,25\leq x^2+x\leq 2\\
-0.25\leq -a\leq 2\\
-2\leq a\leq 0,25}\)

Moje pytanie brzmi, czy można z wykorzystaniem wzorów Viete'a rozwiązać to w ten sposób:

\(\displaystyle{ 0\leq d(x_1,x_2)\leq3}\)

?

[Jan Kraszewski]

Moje pytanie brzmi, czy można z wykorzystaniem wzorów Viete'a rozwiązać to w ten sposób:

\(\displaystyle{ 0\leq d(x_1,x_2)\leq3}\)

A mógłbyś przybliżyć, co to miałoby oznaczać?

JK

[41421356]

Odległość między pierwiastkami będzie maksymalna, gdy \(\displaystyle{ f(1)=0}\), czyli \(\displaystyle{ x_1=1}\), zatem \(\displaystyle{ (1+x_2)/2=x_w=-0,5\Rightarrow x_2=-2\Rightarrow d_{max}(x_1,x_2)=3}\). Warunek \(\displaystyle{ 0\leq d(x_1,x_2)}\) jest oczywisty.

[JHN]

... czy można z wykorzystaniem wzorów Viete'a ...
\(\displaystyle{ \cdots d(x_1,x_2) \cdots}\)

Dla \(\displaystyle{ \begin{cases} ax^2+bx+c=0\\ a\ne 0\\ \Delta\ge0\end{cases} }\) mamy
$$d(x_1,x_2)=\frac{\sqrt\Delta}{|a|}$$
i nie widzę związku z wzorami Viete'a

Pozdrawiam
PS. Twojej nierówności nie ogarniam...

[41421356]

\(\displaystyle{ \frac{\sqrt{\Delta}}{|a|}=\frac{\sqrt{b^2-4ac}}{\sqrt{a^2}}=\sqrt{\left(\frac{b}{a}\right)^2-4\frac{c}{a}}=\sqrt{\left(-\frac{b}{a}\right)^2-4\frac{c}{a}}}\)

[a4karo]

Przecież tu nie ma co liczyć.
Cały wykres funkcji `f(x)=(x+1/2)^2+a-1/4` jest symetryczny względem prostej `x=-1/2` i ma pierwiastek wtedy i tylko wtedy, gdy `a\le 1/4`

Gdy zmniejszamy `a`, wykres przesuwa się w dół, a pierwiastki rozsuwają się (cały czas symetrycznie względem punktu `-1/2`). Ponieważ większy pierwiastek leży "bardziej" w przedziale `[-1,1]` (w sensie, że jak lewy leży, to prawy też, a w drugą stronę nie), więc to on decyduje, czy pierwiastki leżą w tym przedziale, czy nie. Wniosek stąd, że pierwiastek w tym przedziale będzie wtedy i tylko wtedy, gdy będzie (`a\le 1/4`) oraz gdy `f(1)\ge 0`, czyli gdy `2+a\ge 0`.
Odpowiedzią jest zatem przedział `[-2,-1/4]`.

[41421356]

Przecież tu nie ma co liczyć.
Cały wykres funkcji `f(x)=(x+1/2)^2+a-1/4` jest symetryczny względem prostej `x=-1/2` i ma pierwiastek wtedy i tylko wtedy, gdy `a\le 1/4`

Gdy zmniejszamy `a`, wykres przesuwa się w dół, a pierwiastki rozsuwają się (cały czas symetrycznie względem punktu `-1/2`). Ponieważ większy pierwiastek leży "bardziej" w przedziale `[-1,1]` (w sensie, że jak lewy leży, to prawy też, a w drugą stronę nie), więc to on decyduje, czy pierwiastki leżą w tym przedziale, czy nie. Wniosek stąd, że pierwiastek w tym przedziale będzie wtedy i tylko wtedy, gdy będzie (`a\le 1/4`) oraz gdy `f(1)\ge 0`, czyli gdy `2+a\ge 0`.
Odpowiedzią jest zatem przedział `[-2,-1/4]`.

No mniej więcej z takiego rozumowania wysnułem swój wniosek \(\displaystyle{ 0\leq d(x_1,x_2)\leq 3}\)

[mustafajra]

No mniej więcej z takiego rozumowania wysnułem swój wniosek \(\displaystyle{ 0\leq d(x_1,x_2)\leq 3}\)

A mógłbyś przybliżyć, co to miałoby oznaczać?