Nierówność z parametrem

[41421356]

Wyznaczy wszystkie wartości parametru \(\displaystyle{ a}\), dla których nierówność \(\displaystyle{ x^2+4|x-a|-a^2\geq 0}\) jest spełniona dla każdej liczby rzeczywistej \(\displaystyle{ x}\).

Mam problem z tym zadaniem, w odpowiedziach jest wskazówka:

"Jeśli \(\displaystyle{ x\geq a}\) to nierówność z zadania jest równoważna nierówności \(\displaystyle{ x\geq -a-4}\). Jest ona prawdziwa dla wszystkich \(\displaystyle{ x\geq a}\) wtedy i tylko wtedy, gdy \(\displaystyle{ a\geq -a-4}\), czyli \(\displaystyle{ a\geq -2}\)."

Nie bardzo rozumiem tą wskazówkę z zamianą \(\displaystyle{ x}\) na \(\displaystyle{ a}\). Ewentualnie jak inaczej rozwiązać to zadanie?

[bosa_Nike]

Nierówność musi być w szczególności prawdziwa dla najmniejszej wartości, jaką może przyjąć \(\displaystyle{ x}\). To jest sens tej zamiany.

[41421356]

Dziękuję za odpowiedź, niemniej jednak mam dwa pytania:

1. Piszesz o przypadku szczególnym podczas, gdy użyto tam sformułowania wtedy i tylko wtedy.

2. Skąd wiemy, że \(\displaystyle{ a\geq -a-4}\), a nie na przykład \(\displaystyle{ -a-4\geq a}\)?

[a4karo]

Gdy \(x\geq a\) to nierówność wygląda tak:
\(x^2+4(x-a)-a^2\geq 0 \Leftrightarrow (x-a)(x+a)+4(x-a)\geq 0 \Leftrightarrow (x-a)(x+a+4)\geq 0 \Leftrightarrow x\geq -a-4\)

[41421356]

To, że przy warunku \(\displaystyle{ x\geq a}\) zachodzi nierówność \(\displaystyle{ x\geq-a-4}\) to ja rozumiem. Nie rozumiem natomiast skąd z tych dwóch nierówności mam otrzymać \(\displaystyle{ a\geq -a-4}\)?

[a4karo]

Jeżeli \(a\geq -a-4\) to dla każdego \(x\geq a\) zachodzi \(x\geq a\geq -a-4\)
Jeżli natomiast \(a<-a-4\) to nierówność \(x\geq -a-4\) nie zachodzi dla \(x=a\), więc nie zachodzi dla wszystkich \(x\geq a\)

[41421356]

Dziękuję Wam za wskazówki i cierpliwość. Teraz już jasne jest, że odpowiedź to \(\displaystyle{ a\in\left<-2,2\right>}\). Mam jeszcze jedno pytanie. Rozwiązując to zadanie klasycznie, licząc deltę, a nie wyciągając pewne czynniki przed nawias otrzymuję z jednego przypadku wartość \(\displaystyle{ a=-2}\), a z drugiego \(\displaystyle{ a=2}\). Jak mam dojść do wniosku, że odpowiedzią będzie ten przedział, a nie tylko te dwie wartości?

Dodano po 6 godzinach 51 minutach 1 sekundzie:
Edit: Jednak nam jeszcze pytanie do tego pierwszego rozwiązania. Przy rozpisywaniu przypadków z modułem bierzemy sumę zbiorów, w takim wypadku ostateczne rozwiązanie to zbiór liczb rzeczywistych. Dlaczego my te dwa przypadki łączymy iloczynem? Czy nie powinno wyjść z jednego przypadku, że \(\displaystyle{ a\in\left<-2,0\right>}\) oraz z drugiego \(\displaystyle{ a\in\left(0,2\right>}\) i wtedy w sumie otrzymamy przedział \(\displaystyle{ a\in\left<-2,2\right>}\)?

Dodano po 8 godzinach 16 minutach 41 sekundach:
Dobra, już mam. Licząc klasycznie z delty nie uwzględniłem wszystkich przypadków. Tak czy inaczej wychodzą dwa przedziały \(\displaystyle{ a\in\left<-2,x\right>}\) oraz \(\displaystyle{ a\in\left( x,2\right>}\), których suma daje nam szukany przedział.