Wszystkie pary współczynników rzeczywistych

[Jkbk1467]

Witam! W zbiorze maturalnym trafiłem na zadanie:

Liczby \(\displaystyle{ 𝑥 _{1} }\) i \(\displaystyle{ 𝑥 _{2} }\) są miejscami zerowymi funkcji \(\displaystyle{ 𝑓(𝑥) = 𝑥 ^{2} + 4w𝑥 + 4u }\), a liczby
\(\displaystyle{ 𝑥 _{3} }\) i \(\displaystyle{ 𝑥 _{4} }\) miejscami zerowymi funkcji \(\displaystyle{ 𝑔(𝑥) = 𝑥 ^{2} + 4u𝑥 + 4w}\). Wyznacz wszystkie pary \(\displaystyle{ (u,w)}\)
współczynników rzeczywistych, dla których \(\displaystyle{ 𝑥 _{1} 𝑥 _{2} 𝑥 _{3} 𝑥 _{4}=16}\)

Moim pomysłem było wyznaczenie przedziałów dla których te funkcje mają dwa rozwiązania oraz ze wzorów viete'a obliczyć \(\displaystyle{ 𝑥 _{1} 𝑥 _{2}}\) i \(\displaystyle{ 𝑥 _{3} 𝑥 _{4}}\) jednak nie wyszły mi w ten sposób jakiekolwiek konkretne pary (u,w). Czy mogę prosić o pomoc w rozwiązaniu?

[bosa_Nike]

Skoro iloczyn pierwiastków ma być równy \(\displaystyle{ 16}\), to \(\displaystyle{ uw=1}\). Te pierwiastki muszą istnieć, więc wyróżniki równań \(\displaystyle{ f(x)=0}\) oraz \(\displaystyle{ g(x)=0}\) muszą być jednocześnie nieujemne. Oblicz te wyróżniki, podstaw np. \(\displaystyle{ w=\frac{1}{u}}\). Powinieneś coś zauważyć.

[Jkbk1467]

Właśnie udało mi się dojść do tego etapu i tutaj się zatrzymałem

[bosa_Nike]

Jeżeli do nierówności \(\displaystyle{ \Delta_f\ge 0}\) oraz \(\displaystyle{ \Delta_g\ge 0}\) podstawisz \(\displaystyle{ w=\frac{1}{u}}\), to jakie musi być \(\displaystyle{ u}\), żeby te nierówności były jednocześnie spełnione? Może napisz, co otrzymujesz.

[Jkbk1467]

Otrzymuję, że \(\displaystyle{ w ^{2}- \frac{1}{w}>0}\) i \(\displaystyle{ \frac{1}{w ^{2} } -w>0 }\) i nie wiem co z tą informacją zrobić dalej

[bosa_Nike]

Trzeba każdą z tych nierówności rozwiązać i wziąć część wspólną zbiorów rozwiązań. Standardowo - nierówności wymierne \(\displaystyle{ \frac{w^3-1}{w}\ge 0}\) oraz \(\displaystyle{ \frac{1-w^3}{w^2}\ge 0}\). Działaj.

[Jkbk1467]

I wychodzi przedział \(\displaystyle{ w \in (- \infty ,0) }\). I właśnie do tego też udało mi się dojść ale nie umiem wyciągnąć z tego wniosków

[bosa_Nike]

No to masz wszystkie pary \(\displaystyle{ (u,w)=\left(t,\frac{1}{t}\right)}\), gdzie \(\displaystyle{ t}\) jest dowolną ujemną liczbą rzeczywistą. Ale to nie wszystko. Powinieneś rozwiązywać słabe nierówności - podwójny pierwiastek też może być OK, więc jeszcze coś zgubiłeś.

[Jkbk1467]

Czyli odpowiedzią jest \(\displaystyle{ (u,w)=(t, \frac{1}{t}) }\) dla \(\displaystyle{ t \in (- \infty ,0) }\) oraz \(\displaystyle{ (u,w)=(1,1) }\)?

[bosa_Nike]

Moim zdaniem tak.

[Jkbk1467]

Ok, dziękuję za pomoc!