wartości całkowite

Zagadnienia dot. funkcji kwadratowej. RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI kwadratowe i pierwiastkowe. Układy równań stopnia 2.
Pietras2001
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 49
Rejestracja: 7 gru 2016, o 19:28
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa

wartości całkowite

Post autor: Pietras2001 »

Wykazać, że jeśli wartości trójmianu kwadratowego \(\displaystyle{ ax^{2}+bx+c }\) przyjmują wartości całkowite
dla \(\displaystyle{ x=0, x=1 , x=2}\), to dla dowolnej liczby całkowitej \(\displaystyle{ x}\) wartość tego trójmianu jest
całkowita.
szw1710

Re: wartości całkowite

Post autor: szw1710 »

Niech \(f(x)=ax^2+bx+c\). Więc \(c=f(0)\) jest liczbą całkowitą. Dlatego funkcja \(g(x)=ax^2+bx=f(x)-c\) przyjmuje wartości całkowite dla \(x\in\{1,2\}\). Dla \(x=1\) mamy, że \(a+b\) jest całkowita, zaś dla \(x=2\) otrzymujemy, że liczba \(4a+2b\) jest całkowita (i parzysta), a więc jej połowa, czyli \(2a+b\), też jest całkowita. Stąd \(a=(2a+b)-(a+b)\) jest liczbą całkowitą. Na koniec \(b=(a+b)-a\) też jest liczbą całkowitą. Tak więc trójmian \(f(x)=ax^2+bx+c\) ma współczynniki całkowite, co dowodzi naszej tezy.

Uwaga! Widzę tu lukę w momencie wnioskowania o parzystości liczby \(4a+2b\). Poprawię. A może sam spróbujesz?
a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 22173
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 38 razy
Pomógł: 3748 razy

Re: wartości całkowite

Post autor: a4karo »

Nie poprawisz, bo wielomian `\frac{x(x+1)}{2}` spełnia warunki zadania

Dodano po 11 minutach 19 sekundach:
SKoro `4a+2b` i `a+b` sa całkowite, to `2a` jest całkowite, więc `2a-(a+b)=a-b` jest całkowite. Istnieją więc całkowite `m,n` takie, że `a+b=m` - `a-b=n`.
Zatem `a=\frac{m+n}{2}` i `b=\frac{m-n}{2}`.

Stąd
`ax^2+bx=m\frac{x^2+x){2}+n\frac{x^2-x}{2}` jest całkowite dla każdego `x`

Dodano po 6 minutach 37 sekundach:
Albo jeszcze prościej:
`f(2)-f(1)=2a+1`, czyli `2a` jest całkowite. Dla dowolnego `x` całkowitego mamy `f(x+1)-f(x)=2ax+1`, a to jest całkowite. Stąd już łatwo wynika teza.
szw1710

Re: wartości całkowite

Post autor: szw1710 »

Zmienię nieco notację. Niech \(\ZZ\) oznacza zbiór liczb całkowitych.

Dla \(x=0\) mamy, że \(a\cdot 0^2+b\cdot 0+c\in\ZZ\), więc funkcja \(f(x)=ax^2+bx\) ma tę własność, że \(f(1),f(2)\in\ZZ\). Mamy \(f(1)=a+b\in\ZZ\) oraz \(f(2)=4a+2b\in\ZZ\). Dlatego \(2a=f(2)-2f(1)\in\ZZ\).

Rozważmy sieczną funkcji \(f\) w punktach \(1,2\), która ma równanie \(h(x)=\bigl(f(2)-f(1)\bigr)(x-1)+f(1)\) i odejmijmy ją od \(f\). Oczywiście łatwo widać, że \(h(x)\in\ZZ\) dla każdego \(x\in\ZZ\).

Rozważmy zatem funkcję pomocniczą daną wzorem \(g(x)=f(x)-h(x)\). Jest to funkcja kwadratowa o współczynniku przy \(x^2\) równym \(a\) oraz mająca tę własność, że \(g(1)=g(2)=0\). Dlatego \(g(x)=a(x-1)(x-2)=2a\cdot\dfrac{(x-1)(x-2)}{2}\). Dla każdego \(x\in\ZZ\) liczba \((x-1)(x-2)\) jest parzysta jako iloczyn dwóch kolejnych liczb całkowitych. Wnosimy stąd, że \(g(x)\in\ZZ\) dla każdego \(x\in\ZZ\).

W ostatnim kroku zauważamy, że \(f(x)=g(x)+h(x)\) i skoro \(g(x),h(x)\in\ZZ\) dla każdego \(x\in\ZZ\), dowód jest zakończony, gdyż \(f(x)\in\ZZ\) dla każdego \(x\in\ZZ\).
a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 22173
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 38 razy
Pomógł: 3748 razy

Re: wartości całkowite

Post autor: a4karo »

a4karo pisze: 21 gru 2019, o 21:12
Albo jeszcze prościej:
`f(2)-f(1)=2a+1`, czyli `2a` jest całkowite. Dla dowolnego `x` całkowitego mamy `f(x+1)-f(x)=2ax+1`, a to jest całkowite. Stąd już łatwo wynika teza.
Powinno być
`f(1)-f(0)=a+b` jest całkowite i
`f(2)-f(1)=2a+a+b` też,, czyli `2a` jest całkowite. Dla dowolnego `x` całkowitego mamy `f(x+1)-f(x)=2ax+a+b`, a to jest całkowite. Stąd już łatwo wynika teza.
ODPOWIEDZ