Równanie z pierwiastkiem

[mathxc]

Rozwiąż równanie:
\(\displaystyle{ \sqrt{x+3}+\sqrt{x}=3}\)

Czy moje rozwiązanie jest poprawne?
Założenia:
\(\displaystyle{ x+3\ge 0 \wedge x\ge 0\Rightarrow x\ge0}\)
Korzystam z
\(\displaystyle{ \sqrt{a}+\sqrt{b}=\frac{a-b}{\sqrt{a}-\sqrt{b}}}\)
\(\displaystyle{ \sqrt{x+3}+\sqrt{x}=3\\\frac{x+3-x}{\sqrt{x+3}-\sqrt{x}}=3\\\frac{3}{\sqrt{x+3}-\sqrt{x}}=3}\)
Równość zachodzi gdy \(\displaystyle{ \sqrt{x+3}-\sqrt{x}=1}\)
Tworze układ równań:
\(\displaystyle{ \begin{cases}\sqrt{x+3}+\sqrt{x}=3\\\sqrt{x+3}-\sqrt{x}=1\end{cases}\Rightarrow 2\sqrt{x+3}=4 \Rightarrow \sqrt{x+3}=2}\)
Obie strony dodanie podnoszę do kwadratu
\(\displaystyle{ x+3=4 \Rightarrow x=1\ge0}\)

[Premislav]

Tak, jest dobrze. Można również zauważyć, że funkcja \(\displaystyle{ f(x)=\sqrt{x+3}+\sqrt{x}}\) jest rosnąca w \(\displaystyle{ (0,+\infty)}\) jako suma funkcji rosnących, zgadnąć rozwiązanie \(\displaystyle{ x=1}\) i koniec.

[JHN]

Poprawnie...

Alternatywnie, bardziej standardowo, po określeniu dziedziny:

1. podnieść stronami do kwadratu, przeporządkować do pierwiastek po lewej stronie, założyć nieujemność prawej strony, stronami do kwadratu,...

2. niech \(\displaystyle{ \sqrt{x}=t\wedge t\ge 0 }\), wtedy

\(\displaystyle{ \sqrt{t^2+3}=3-t }\)

dla \(\displaystyle{ 3-t\ge 0}\) podnieść stronami do kwadratu...

Pozdrawiam

[edited] Premislaw: rosnąca, czyli różnowartościowa

[janusz47]

Wiedząc, że \(\displaystyle{ \sqrt{x+3} + \sqrt{x} = 3 \ \ (*)}\)
wyznaczymy \(\displaystyle{ x. }\)

Z treści zadania wiemy, że \(\displaystyle{ x }\) nie jest zmienną, lecz dokładnie jedną ustaloną liczbą rzeczywistą. Ale jaką liczbą - tego nie wiemy. Mamy ją właśnie wyznaczyć, tj. dowiedzieć się jaka to liczba.

Z równości prawdziwej \(\displaystyle{ (*) }\) otrzymujemy dalsze równości prawdziwe.

\(\displaystyle{ \sqrt{x +3} = 3 - \sqrt{x} }\)

\(\displaystyle{ x +3 = 9 - 6\sqrt{x} + x }\)

\(\displaystyle{ 6\sqrt{x} = 6 }\)

\(\displaystyle{ \sqrt{x} = 1 }\)

\(\displaystyle{ x = 1. }\)

Odp. \(\displaystyle{ x }\) jest liczbę \(\displaystyle{ 1. }\)