Równania z parametrem m
- Niepokonana
- Użytkownik
- Posty: 1548
- Rejestracja: 4 sie 2019, o 11:12
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Polska
- Podziękował: 337 razy
- Pomógł: 20 razy
Równania z parametrem m
Równanie \(\displaystyle{ x^{2}-5|x|+c=0}\) ma 4 różne pierwiastki. Oblicz \(\displaystyle{ c}\), jeżeli iloczyn pierwiastków wynosi \(\displaystyle{ 36}\).
No wiem, że ten iloczyn to \(\displaystyle{ \left(\frac {c}{a}\right)^{2}}\), ale jak do tego dojść? No i wiadomo, założenie jest, że po podstawieniu zmiennej pomocniczej będą \(\displaystyle{ 2}\) różne pierwiastki większe od zera.
No wiem, że ten iloczyn to \(\displaystyle{ \left(\frac {c}{a}\right)^{2}}\), ale jak do tego dojść? No i wiadomo, założenie jest, że po podstawieniu zmiennej pomocniczej będą \(\displaystyle{ 2}\) różne pierwiastki większe od zera.
- Premislav
- Użytkownik
- Posty: 15687
- Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 196 razy
- Pomógł: 5220 razy
Re: Równania z parametrem m
Jeżeli liczba \(\displaystyle{ x_0}\) spełnia równanie z niewiadomą \(\displaystyle{ |x|}\), to \(\displaystyle{ -x_0}\) też spełnia to samo równanie.
Czyli jak będzie równanie kwadratowe zmiennej \(\displaystyle{ t=|x|}\) z dodatnim wyróżnikiem oraz dwoma dodatnimi pierwiastkami \(\displaystyle{ t_1, \ t_2}\), to wszystkie rozwiązania względem \(\displaystyle{ x}\) to \(\displaystyle{ -t_1, \ t_1, \ -t_2, t_2}\). Ich iloczyn jest więc równy…
Czyli jak będzie równanie kwadratowe zmiennej \(\displaystyle{ t=|x|}\) z dodatnim wyróżnikiem oraz dwoma dodatnimi pierwiastkami \(\displaystyle{ t_1, \ t_2}\), to wszystkie rozwiązania względem \(\displaystyle{ x}\) to \(\displaystyle{ -t_1, \ t_1, \ -t_2, t_2}\). Ich iloczyn jest więc równy…
- Niepokonana
- Użytkownik
- Posty: 1548
- Rejestracja: 4 sie 2019, o 11:12
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Polska
- Podziękował: 337 razy
- Pomógł: 20 razy
Re: Równania z parametrem m
No właśnie myślałam nad po prostu wzięciem i przemnożeniem tego wszystkiego. Wyszło mi \(\displaystyle{ \frac {0}{16a^{2}}}\). To chyba nie to, a też robiłam, że \(\displaystyle{ x_{1}=-x_{3}}\) i \(\displaystyle{ x_{2}=-x_{4}}\)
- Premislav
- Użytkownik
- Posty: 15687
- Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 196 razy
- Pomógł: 5220 razy
Re: Równania z parametrem m
Nie rozumiem, wstawiasz do wzoru Viete'a na iloczyn jak pisałaś i wychodzi \(\displaystyle{ c=6}\), nie wiem skąd Ci się pojawia jakieś \(\displaystyle{ \frac{0}{16a^{2}}}\) (BTW nie ma potrzeby tak pisać, bo to po prostu \(\displaystyle{ 0}\)).
- Niepokonana
- Użytkownik
- Posty: 1548
- Rejestracja: 4 sie 2019, o 11:12
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Polska
- Podziękował: 337 razy
- Pomógł: 20 razy
Re: Równania z parametrem m
Weź mi to rozpisz, bo nie rozumiem, pls. Co ja mam wstawić do wzoru na iloczyn?
Chcesz mi powiedzieć, że ja mam wymnożyć to \(\displaystyle{ c}\) przez \(\displaystyle{ a}\) od \(\displaystyle{ x_{1}}\) i \(\displaystyle{ x_{2}}\) przez \(\displaystyle{ c}\) przez \(\displaystyle{ a}\) od \(\displaystyle{ x_{3}}\) i \(\displaystyle{ x_{4}}\)
Chcesz mi powiedzieć, że ja mam wymnożyć to \(\displaystyle{ c}\) przez \(\displaystyle{ a}\) od \(\displaystyle{ x_{1}}\) i \(\displaystyle{ x_{2}}\) przez \(\displaystyle{ c}\) przez \(\displaystyle{ a}\) od \(\displaystyle{ x_{3}}\) i \(\displaystyle{ x_{4}}\)
- Premislav
- Użytkownik
- Posty: 15687
- Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 196 razy
- Pomógł: 5220 razy
Re: Równania z parametrem m
Jej… Jeżeli liczby rzeczywiste dodatnie \(\displaystyle{ t_1, \ t_2}\) są rozwiązaniami równania kwadratowego (czyli \(\displaystyle{ a\neq 0}\))
\(\displaystyle{ at^2+bt+c=0}\), to rozwiązaniami równania \(\displaystyle{ a|x|^2+b|x|+c=0}\) są \(\displaystyle{ -t_1, \ t_1, \ -t_2, \ t_2}\), chyba widać, dlaczego. Ze wzorów Viete'a dla wielomianu drugiego stopnia wynika, że \(\displaystyle{ t_1 t_2=\frac{c}{a}}\), więc iloczyn rozwiązań równania
\(\displaystyle{ a|x|^2+b|x|+c=0}\) jest równy \(\displaystyle{ t_1\cdot t_2 \cdot (-t_1)\cdot (-t_2)=(t_1 t_2)^2=\left(\frac{c}{a}\right)^{2}}\).
Może teraz jaśniej.
\(\displaystyle{ at^2+bt+c=0}\), to rozwiązaniami równania \(\displaystyle{ a|x|^2+b|x|+c=0}\) są \(\displaystyle{ -t_1, \ t_1, \ -t_2, \ t_2}\), chyba widać, dlaczego. Ze wzorów Viete'a dla wielomianu drugiego stopnia wynika, że \(\displaystyle{ t_1 t_2=\frac{c}{a}}\), więc iloczyn rozwiązań równania
\(\displaystyle{ a|x|^2+b|x|+c=0}\) jest równy \(\displaystyle{ t_1\cdot t_2 \cdot (-t_1)\cdot (-t_2)=(t_1 t_2)^2=\left(\frac{c}{a}\right)^{2}}\).
Może teraz jaśniej.
- Niepokonana
- Użytkownik
- Posty: 1548
- Rejestracja: 4 sie 2019, o 11:12
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Polska
- Podziękował: 337 razy
- Pomógł: 20 razy
Re: Równania z parametrem m
No to dokładnie to, co ja napisałam lol, tylko bez założeń, dziękuję Jeszcze planuję dodać drugie zadanie, ale nie od razu.
- Premislav
- Użytkownik
- Posty: 15687
- Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 196 razy
- Pomógł: 5220 razy
Re: Równania z parametrem m
Napisałaś:
No to napisałem, jak do tego dojść. Z założeniami rozumiem, że sobie poradziłaś (jak pisałem wyróżnik dodatni – tu akurat taki jest, no i warunek z dodatnimi pierwiastkami też się przez wzory Viete'a wyraża i jest tu spełniony).Niepokonana pisze: No wiem, że ten iloczyn to \(\displaystyle{ \left(\frac{c}{a}\right)^{2}}\), ale jak do tego dojść?
- Niepokonana
- Użytkownik
- Posty: 1548
- Rejestracja: 4 sie 2019, o 11:12
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Polska
- Podziękował: 337 razy
- Pomógł: 20 razy
Re: Równania z parametrem m
Na razie sobie poradziłam, ale kto wie, co będzie z następnym zadaniem, dziękuję.
I nie, chodzi mi o piąty post od góry.
I nie, chodzi mi o piąty post od góry.