Równania sprowadzalne do kwadratowych

Zagadnienia dot. funkcji kwadratowej. RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI kwadratowe i pierwiastkowe. Układy równań stopnia 2.
Niepokonana
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 401
Rejestracja: 4 sie 2019, o 11:12
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 70 razy
Pomógł: 2 razy

Równania sprowadzalne do kwadratowych

Post autor: Niepokonana » 10 wrz 2019, o 16:17

Wybaczcie, że 2 przykłady, ale to zadanie ma dwa podpunkty. Potrzebuję tylko zmiennej \(\displaystyle{ t}\), bo nie wiem, jak przerobić na równanie kwadratowe, jak mam zmienną \(\displaystyle{ t}\), to umiem sama.
Oczywiście \(\displaystyle{ t\ge 0}\), bo jest wartość bezwzględna.
a) \(\displaystyle{ x^{2}=|x+2|}\)
b)\(\displaystyle{ -x^{2}+6x-5=4|x-1|}\)
Ostatnio zmieniony 10 wrz 2019, o 17:09 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Symbol większości to \ge.

Awatar użytkownika
Kfadrat
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 99
Rejestracja: 25 paź 2018, o 17:59
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Śląsk
Podziękował: 9 razy
Pomógł: 13 razy

Re: Równania sprowadzalne do kwadratowych

Post autor: Kfadrat » 10 wrz 2019, o 16:26

Nie za bardzo jestem w stanie zrozumieć twój problem. Próbujesz zamienić funkcje kwadratową z modułem na funkcję kwadratową bez modułu używając do tego dodatkowej zmiennej? Nie łatwiej poprostu opuścić moduł?

Thingoln
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 25
Rejestracja: 27 lip 2019, o 22:19
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: województwo śląskie
Podziękował: 9 razy
Pomógł: 5 razy

Re: Równania sprowadzalne do kwadratowych

Post autor: Thingoln » 10 wrz 2019, o 16:33

Spróbuj opuścić moduł, używając przedziałów.

Niepokonana
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 401
Rejestracja: 4 sie 2019, o 11:12
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 70 razy
Pomógł: 2 razy

Re: Równania sprowadzalne do kwadratowych

Post autor: Niepokonana » 10 wrz 2019, o 16:44

To jest tak, że robisz zmienną \(\displaystyle{ t}\) z tego dziwnego równania i otrzymujesz normalne, cywilizowane równanie kwadratowe typu \(\displaystyle{ at^{2}+bt+c=0}\) To się nazywa przekształcanie do równania kwadratowego.
Moduły się opuszcza, jak zostanie moduł po zrobieniu \(\displaystyle{ t}\).

Awatar użytkownika
Kfadrat
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 99
Rejestracja: 25 paź 2018, o 17:59
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Śląsk
Podziękował: 9 razy
Pomógł: 13 razy

Re: Równania sprowadzalne do kwadratowych

Post autor: Kfadrat » 10 wrz 2019, o 16:51

Niepokonana pisze:
10 wrz 2019, o 16:44
To jest tak, że robisz zmienną \(\displaystyle{ t}\) z tego dziwnego równania i otrzymujesz normalne, cywilizowane równanie kwadratowe typu \(\displaystyle{ at^{2}+bt+c=0}\) To się nazywa przekształcanie do równania kwadratowego.
Moduły się opuszcza, jak zostanie moduł po zrobieniu \(\displaystyle{ t}\).
Tjaa...

\(\displaystyle{ x^2=|x+2|\iff (x+2-2)^2=|x+2|}\)
Teraz w miejsce \(\displaystyle{ x+2}\) możemy podstawić \(\displaystyle{ t}\) i otrzymujemy
\(\displaystyle{ (t-2)^2=|t|}\), czy o takie coś ci chodzi?

Niepokonana
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 401
Rejestracja: 4 sie 2019, o 11:12
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 70 razy
Pomógł: 2 razy

Re: Równania sprowadzalne do kwadratowych

Post autor: Niepokonana » 10 wrz 2019, o 16:53

Nie to
\(\displaystyle{ t}\)
musi być zależne od
\(\displaystyle{ x}\)
a nie od swojego kwadratu i bez wartości bezwzględnych.
edit: nieważne, nie wiem, o co chodzi.
Ostatnio zmieniony 10 wrz 2019, o 16:57 przez Niepokonana, łącznie zmieniany 2 razy.

Awatar użytkownika
Kfadrat
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 99
Rejestracja: 25 paź 2018, o 17:59
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Śląsk
Podziękował: 9 razy
Pomógł: 13 razy

Re: Równania sprowadzalne do kwadratowych

Post autor: Kfadrat » 10 wrz 2019, o 16:54

Niepokonana pisze:
10 wrz 2019, o 16:53
Nie to \(\displaystyle{ t}\) musi być zależne od \(\displaystyle{ x}\) a nie od swojego kwadratu i bez wartości bezwzględnych.
Okej, ja wymiękam...

Próbowałaś przeliczyć do zadanie w inny sposób? Czy akurat ten został ci narzucony?
Ostatnio zmieniony 10 wrz 2019, o 16:56 przez Kfadrat, łącznie zmieniany 1 raz.

Niepokonana
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 401
Rejestracja: 4 sie 2019, o 11:12
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 70 razy
Pomógł: 2 razy

Re: Równania sprowadzalne do kwadratowych

Post autor: Niepokonana » 10 wrz 2019, o 16:56

Nie no wybacz, muszę to przemyśleć, co mi tu napisałeś, bo nie czaję...... Ile wynosi \(\displaystyle{ t}\) dla \(\displaystyle{ x}\)?

Awatar użytkownika
Kfadrat
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 99
Rejestracja: 25 paź 2018, o 17:59
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Śląsk
Podziękował: 9 razy
Pomógł: 13 razy

Re: Równania sprowadzalne do kwadratowych

Post autor: Kfadrat » 10 wrz 2019, o 16:56

Sorki za edit po twoim poście

Niepokonana
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 401
Rejestracja: 4 sie 2019, o 11:12
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 70 razy
Pomógł: 2 razy

Re: Równania sprowadzalne do kwadratowych

Post autor: Niepokonana » 10 wrz 2019, o 16:57

Tak, ten sposób jest narzucony i nie można inaczej.
Chociaż nadal jest wartość bezwzględna przy \(\displaystyle{ t}\)...

a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 16995
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 2855 razy

Re: Równania sprowadzalne do kwadratowych

Post autor: a4karo » 10 wrz 2019, o 17:08

To może pokaż jakiś przykład, który został zrobiony na zajęciach (bo chyba nie za bardzo kumamy o co Ci chodzi)

Thingoln
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 25
Rejestracja: 27 lip 2019, o 22:19
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: województwo śląskie
Podziękował: 9 razy
Pomógł: 5 razy

Re: Równania sprowadzalne do kwadratowych

Post autor: Thingoln » 10 wrz 2019, o 17:11

Po co jednak używać zmiennej pomocniczej \(\displaystyle{ t}\)? Nie łatwiej rozwiązać to zadanie w taki sposób?

\(\displaystyle{ x^2 = |x+2| \ \ (1)}\)

\(\displaystyle{ x+2 \ge 0}\) wtedy i tylko wtedy, gdy \(\displaystyle{ x \in \langle 2, \infty )}\). W pozostałych przypadkach wartość wyrażenia \(\displaystyle{ x+2}\) jest liczbą ujemną.

Rozważmy więc dwa przypadki.

1. Jeśli \(\displaystyle{ x \in \langle 2, \infty )}\)
_________
Wówczas \(\displaystyle{ x+2 \ge 0}\), więc \(\displaystyle{ |x+2| = x+2}\).
\(\displaystyle{ x^2 = |x+2|}\), więc w tym przypadku moduł „znika” i mamy
\(\displaystyle{ x^2 = x + 2}\)
\(\displaystyle{ x^2-x-2 = 0}\)
Znajdujemy pierwiastki tego równania, którymi są liczby \(\displaystyle{ -1}\) i \(\displaystyle{ 2}\), a następnie sprawdzamy, czy liczby te należą do przedziału, który sobie założyliśmy (czyli \(\displaystyle{ x \in \langle 2, \infty )}\)). Liczba \(\displaystyle{ -1}\) nie należy do niego, jednak \(\displaystyle{ 2}\) już tak. A więc mamy jedno rozwiązanie równania (1), \(\displaystyle{ x = 2}\).

Sprawdźmy teraz drugi przedział.

2. Jeśli \(\displaystyle{ x \in (- \infty, 2)}\)
__________
Wówczas \(\displaystyle{ x+2 < 0}\), a więc \(\displaystyle{ |x+2| = -(x+2) = -x - 2}\)
\(\displaystyle{ x^2 = |x+2|}\), tutaj opuszczamy wartość bezwzględną tak jak wyżej i mamy
\(\displaystyle{ x^2 = -x - 2}\)
\(\displaystyle{ x^2 + x -2 = 0}\)
Rozwiązujemy równanie kwadratowe i wyznaczamy jego miejsca zerowe, które są równe \(\displaystyle{ 1}\) oraz \(\displaystyle{ -2}\). Widzimy, że oba z nich należą do założonego przedziału, czyli \(\displaystyle{ x \in (- \infty, 2)}\), a więc oba są rozwiązaniami równania (1).

Stąd jedynymi rozwiązaniami równania (1) są liczby \(\displaystyle{ -2, -1, 1}\).

Niepokonana
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 401
Rejestracja: 4 sie 2019, o 11:12
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 70 razy
Pomógł: 2 razy

Re: Równania sprowadzalne do kwadratowych

Post autor: Niepokonana » 10 wrz 2019, o 17:15

Nie no, z głowy dam.
\(\displaystyle{ x^{2}+3|x|-4=0}\)
Piszemy, że \(\displaystyle{ t=|x|}\), \(\displaystyle{ x}\) jest rzeczywistą liczbą, a \(\displaystyle{ t\geq 0}\) dziedzina
Podstawiamy i dostajemy równanie \(\displaystyle{ t^{2}+3t-4=0}\)
Rozwiązujemy jak normalne równanie. \(\displaystyle{ t=1}\) lub \(\displaystyle{ t=-4, -4}\) nie należy do dziedziny, więc skreślamy.
\(\displaystyle{ t=1}\)
\(\displaystyle{ t=|x|}\)
\(\displaystyle{ x=1}\) lub \(\displaystyle{ x=-1
}\)


Potrzebuję takiego \(\displaystyle{ t}\), które da mi równanie kwadratowe.

Nie, nie można rozwiązać na dwa przypadki, bo w tym temacie ćwiczymy podstawianie.
Ostatnio zmieniony 10 wrz 2019, o 20:23 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.

Awatar użytkownika
Kfadrat
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 99
Rejestracja: 25 paź 2018, o 17:59
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Śląsk
Podziękował: 9 razy
Pomógł: 13 razy

Re: Równania sprowadzalne do kwadratowych

Post autor: Kfadrat » 10 wrz 2019, o 17:20

Thingoln pisze:
10 wrz 2019, o 17:11

Stąd jedynymi rozwiązaniami równania (1) są liczby \(\displaystyle{ -2, -1, 1}\).
Niestety, ale \(\displaystyle{ -2}\) nie jest rozwiązaniem

Niepokonana
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 401
Rejestracja: 4 sie 2019, o 11:12
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 70 razy
Pomógł: 2 razy

Re: Równania sprowadzalne do kwadratowych

Post autor: Niepokonana » 10 wrz 2019, o 17:23

ok, dam odpowiedzi
W pierwszym \(\displaystyle{ x=-1}\) lub \(\displaystyle{ x=2}\)
W drugim \(\displaystyle{ x=1}\)

ODPOWIEDZ