Równania sprowadzalne do kwadratowych

Zagadnienia dot. funkcji kwadratowej. RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI kwadratowe i pierwiastkowe. Układy równań stopnia 2.
Niepokonana
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 138
Rejestracja: 4 sie 2019, o 11:12
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Polska

Równania sprowadzalne do kwadratowych

Post autor: Niepokonana » 10 wrz 2019, o 16:17

Wybaczcie, że 2 przykłady, ale to zadanie ma dwa podpunkty. Potrzebuję tylko zmiennej \(t\), bo nie wiem, jak przerobić na równanie kwadratowe, jak mam zmienną \(t\), to umiem sama.
Oczywiście \(t\ge 0\), bo jest wartość bezwzględna.
a) \(x^{2}=|x+2|\)
b)\(-x^{2}+6x-5=4|x-1|\)
Ostatnio zmieniony 10 wrz 2019, o 17:09 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Symbol większości to \ge.

Awatar użytkownika
Kfadrat
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 99
Rejestracja: 25 paź 2018, o 17:59
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Śląsk

Re: Równania sprowadzalne do kwadratowych

Post autor: Kfadrat » 10 wrz 2019, o 16:26

Nie za bardzo jestem w stanie zrozumieć twój problem. Próbujesz zamienić funkcje kwadratową z modułem na funkcję kwadratową bez modułu używając do tego dodatkowej zmiennej? Nie łatwiej poprostu opuścić moduł?

Thingoln
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15
Rejestracja: 27 lip 2019, o 22:19
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: województwo śląskie

Re: Równania sprowadzalne do kwadratowych

Post autor: Thingoln » 10 wrz 2019, o 16:33

Spróbuj opuścić moduł, używając przedziałów.

Niepokonana
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 138
Rejestracja: 4 sie 2019, o 11:12
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Polska

Re: Równania sprowadzalne do kwadratowych

Post autor: Niepokonana » 10 wrz 2019, o 16:44

To jest tak, że robisz zmienną \(t\) z tego dziwnego równania i otrzymujesz normalne, cywilizowane równanie kwadratowe typu \(at^{2}+bt+c=0\) To się nazywa przekształcanie do równania kwadratowego.
Moduły się opuszcza, jak zostanie moduł po zrobieniu \(t\).

Awatar użytkownika
Kfadrat
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 99
Rejestracja: 25 paź 2018, o 17:59
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Śląsk

Re: Równania sprowadzalne do kwadratowych

Post autor: Kfadrat » 10 wrz 2019, o 16:51

Niepokonana pisze:
10 wrz 2019, o 16:44
To jest tak, że robisz zmienną \(t\) z tego dziwnego równania i otrzymujesz normalne, cywilizowane równanie kwadratowe typu \(at^{2}+bt+c=0\) To się nazywa przekształcanie do równania kwadratowego.
Moduły się opuszcza, jak zostanie moduł po zrobieniu \(t\).
Tjaa...

\(x^2=|x+2|\iff (x+2-2)^2=|x+2|\)
Teraz w miejsce \(x+2\) możemy podstawić \(t\) i otrzymujemy
\((t-2)^2=|t|\), czy o takie coś ci chodzi?

Niepokonana
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 138
Rejestracja: 4 sie 2019, o 11:12
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Polska

Re: Równania sprowadzalne do kwadratowych

Post autor: Niepokonana » 10 wrz 2019, o 16:53

Nie to
\(t\)
musi być zależne od
\(x\)
a nie od swojego kwadratu i bez wartości bezwzględnych.
edit: nieważne, nie wiem, o co chodzi.
Ostatnio zmieniony 10 wrz 2019, o 16:57 przez Niepokonana, łącznie zmieniany 2 razy.

Awatar użytkownika
Kfadrat
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 99
Rejestracja: 25 paź 2018, o 17:59
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Śląsk

Re: Równania sprowadzalne do kwadratowych

Post autor: Kfadrat » 10 wrz 2019, o 16:54

Niepokonana pisze:
10 wrz 2019, o 16:53
Nie to \(t\) musi być zależne od \(x\) a nie od swojego kwadratu i bez wartości bezwzględnych.
Okej, ja wymiękam...

Próbowałaś przeliczyć do zadanie w inny sposób? Czy akurat ten został ci narzucony?
Ostatnio zmieniony 10 wrz 2019, o 16:56 przez Kfadrat, łącznie zmieniany 1 raz.

Niepokonana
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 138
Rejestracja: 4 sie 2019, o 11:12
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Polska

Re: Równania sprowadzalne do kwadratowych

Post autor: Niepokonana » 10 wrz 2019, o 16:56

Nie no wybacz, muszę to przemyśleć, co mi tu napisałeś, bo nie czaję...... Ile wynosi \(t\) dla \(x\)?

Awatar użytkownika
Kfadrat
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 99
Rejestracja: 25 paź 2018, o 17:59
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Śląsk

Re: Równania sprowadzalne do kwadratowych

Post autor: Kfadrat » 10 wrz 2019, o 16:56

Sorki za edit po twoim poście

Niepokonana
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 138
Rejestracja: 4 sie 2019, o 11:12
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Polska

Re: Równania sprowadzalne do kwadratowych

Post autor: Niepokonana » 10 wrz 2019, o 16:57

Tak, ten sposób jest narzucony i nie można inaczej.
Chociaż nadal jest wartość bezwzględna przy \(t\)...

a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 16760
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz

Re: Równania sprowadzalne do kwadratowych

Post autor: a4karo » 10 wrz 2019, o 17:08

To może pokaż jakiś przykład, który został zrobiony na zajęciach (bo chyba nie za bardzo kumamy o co Ci chodzi)

Thingoln
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15
Rejestracja: 27 lip 2019, o 22:19
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: województwo śląskie

Re: Równania sprowadzalne do kwadratowych

Post autor: Thingoln » 10 wrz 2019, o 17:11

Po co jednak używać zmiennej pomocniczej \(t\)? Nie łatwiej rozwiązać to zadanie w taki sposób?

\(x^2 = |x+2| \ \ (1)\)

\(x+2 \ge 0\) wtedy i tylko wtedy, gdy \(x \in \langle 2, \infty )\). W pozostałych przypadkach wartość wyrażenia \(x+2\) jest liczbą ujemną.

Rozważmy więc dwa przypadki.

1. Jeśli \(x \in \langle 2, \infty )\)
_________
Wówczas \(x+2 \ge 0\), więc \(|x+2| = x+2\).
\(x^2 = |x+2|\), więc w tym przypadku moduł „znika” i mamy
\(x^2 = x + 2\)
\(x^2-x-2 = 0\)
Znajdujemy pierwiastki tego równania, którymi są liczby \(-1\) i \(2\), a następnie sprawdzamy, czy liczby te należą do przedziału, który sobie założyliśmy (czyli \(x \in \langle 2, \infty )\)). Liczba \(-1\) nie należy do niego, jednak \(2\) już tak. A więc mamy jedno rozwiązanie równania (1), \(x = 2\).

Sprawdźmy teraz drugi przedział.

2. Jeśli \(x \in (- \infty, 2)\)
__________
Wówczas \(x+2 < 0\), a więc \(|x+2| = -(x+2) = -x - 2\)
\(x^2 = |x+2|\), tutaj opuszczamy wartość bezwzględną tak jak wyżej i mamy
\(x^2 = -x - 2\)
\(x^2 + x -2 = 0\)
Rozwiązujemy równanie kwadratowe i wyznaczamy jego miejsca zerowe, które są równe \(1\) oraz \(-2\). Widzimy, że oba z nich należą do założonego przedziału, czyli \(x \in (- \infty, 2)\), a więc oba są rozwiązaniami równania (1).

Stąd jedynymi rozwiązaniami równania (1) są liczby \(-2, -1, 1\).

Niepokonana
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 138
Rejestracja: 4 sie 2019, o 11:12
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Polska

Re: Równania sprowadzalne do kwadratowych

Post autor: Niepokonana » 10 wrz 2019, o 17:15

Nie no, z głowy dam.
\(x^{2}+3|x|-4=0\)
Piszemy, że \(t=|x|\), \(x\) jest rzeczywistą liczbą, a \(t\geq 0\) dziedzina
Podstawiamy i dostajemy równanie \(t^{2}+3t-4=0\)
Rozwiązujemy jak normalne równanie. \(t=1\) lub \(t=-4, -4\) nie należy do dziedziny, więc skreślamy.
\(t=1\)
\(t=|x|\)
\(x=1\) lub \(x=-1
\)


Potrzebuję takiego \(t\), które da mi równanie kwadratowe.

Nie, nie można rozwiązać na dwa przypadki, bo w tym temacie ćwiczymy podstawianie.
Ostatnio zmieniony 10 wrz 2019, o 20:23 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.

Awatar użytkownika
Kfadrat
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 99
Rejestracja: 25 paź 2018, o 17:59
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Śląsk

Re: Równania sprowadzalne do kwadratowych

Post autor: Kfadrat » 10 wrz 2019, o 17:20

Thingoln pisze:
10 wrz 2019, o 17:11

Stąd jedynymi rozwiązaniami równania (1) są liczby \(-2, -1, 1\).
Niestety, ale \(-2\) nie jest rozwiązaniem

Niepokonana
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 138
Rejestracja: 4 sie 2019, o 11:12
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Polska

Re: Równania sprowadzalne do kwadratowych

Post autor: Niepokonana » 10 wrz 2019, o 17:23

ok, dam odpowiedzi
W pierwszym \(x=-1\) lub \(x=2\)
W drugim \(x=1\)

ODPOWIEDZ