Strona 1 z 1

Zastosowania funkcji kwadratowej

: 4 wrz 2019, o 18:33
autor: Niepokonana
Dany jest trójkąt prostokątny równoramienny (ABC) o przeciwprostokątnej długości 4. Na bokach tego trójkąta obrano punkty D, E, F, takie że D jest środkiem przeciwprostokątnej, a odcinek EF jest do niej równoległy. Jakie jest największe możliwe pole trójkąta DEF?
No więc to nie jest pierwsze forum, na którym to piszę, męczę się z tym od tygodnia, umiem policzyć tylko długości boków trójkąta ABC. Proszę bez żadnych trygonometrii, tylko z podobieństwa trójkątów/Pitagorasa.

Re: Zastosowania funkcji kwadratowej

: 4 wrz 2019, o 20:26
autor: piasek101
\(\displaystyle{ P_{EFD}=P_{ABC}-P_{AFE}-2P_{FBD}}\) gdzie A jest wierzchołkiem kąta prostego

Re: Zastosowania funkcji kwadratowej

: 4 wrz 2019, o 20:34
autor: Niepokonana
Tak, zrobiłam taki rysunek, ale skąd wziąć pole 2FBD? I jak to potem wszystko złożyć?

Re: Zastosowania funkcji kwadratowej

: 4 wrz 2019, o 20:37
autor: piasek101
Przyprostokątne trójkąta AFE oznacz jako (x). Wtedy podstawa trójkąta FBD ma \(\displaystyle{ 2\sqrt 2 -x}\), a wysokość poprowadzoną do podstawy powinnaś znać.
Szukane pole będzie zależne od (x), i będziesz szukała max tego pola.

Re: Zastosowania funkcji kwadratowej

: 4 wrz 2019, o 20:58
autor: Niepokonana
Mam tak, ale nie wiem co dalej, proszę rozwiąż mi od początku do końca. Przy kącie prostym mamy mały trójkąt \(\displaystyle{ x^{2}:2}\) to to wiem, ale dalej?

Re: Zastosowania funkcji kwadratowej

: 4 wrz 2019, o 21:14
autor: piasek101
Ustawmy trójkąt ABC tak aby jego przyprostokątne były pionowo (AC) i poziomo (AB a na niej F).

Zajmijmy się trójkątem FBD, wtedy:
\(\displaystyle{ |FB|=2\sqrt 2 -x}\) (o czym pisałem)
wysokość tego trójkąta poprowadzona z D ma \(\displaystyle{ \sqrt 2}\)
Zatem szukane pole \(\displaystyle{ P_{EFD}=0,5\cdot \left(2\sqrt 2\right)^2-0,5x^2-2\cdot 0,5(2\sqrt 2-x)\sqrt 2}\) (o tym ogólnie też pisałem) i szukamy max otrzymanej funkcji (w zależności od x).

Pytaj.

Re: Zastosowania funkcji kwadratowej

: 4 wrz 2019, o 21:25
autor: Niepokonana
Dobra, teraz tylko powiedz, skąd wiedziałeś, że wysokość z \(\displaystyle{ d}\) wynosi pierwiastek z dwóch :)

Re: Zastosowania funkcji kwadratowej

: 4 wrz 2019, o 21:27
autor: piasek101
Niepokonana pisze:
4 wrz 2019, o 18:33
... D jest środkiem przeciwprostokątnej

Re: Zastosowania funkcji kwadratowej

: 4 wrz 2019, o 21:33
autor: Niepokonana
Ale co ma to do rzeczy? Czyli chcesz mi powiedzieć, że skoro długość przeciwprostokątnej to 4, a mini trójkąt po zrobieniu wysokości jest równoramienny, to suma kwadratów mini boku i mini wysokości jest równa 4, a że mini bok i mini wysokość są równe, to kwadrat mini wysokości jest równy 2 a więc mini wysokość jest równa 2?

Re: Zastosowania funkcji kwadratowej

: 4 wrz 2019, o 21:37
autor: piasek101
Trójkąt \(\displaystyle{ ABC}\) ustawiony tak jak pisałem.
Wysokość poprowadzona z \(\displaystyle{ D}\) pionowa. Niech jej drugi koniec to będzie \(\displaystyle{ G}\).
Trójkąt \(\displaystyle{ DGB}\) jest prostokątny równoramienny o przeciwprostokątnej \(\displaystyle{ 2}\). Czyli jego przyprostokątne (np \(\displaystyle{ DG}\)) mają po \(\displaystyle{ \sqrt 2}\).

Re: Zastosowania funkcji kwadratowej

: 4 wrz 2019, o 21:39
autor: Niepokonana
No to tak jak mówię :) Dziękuję, nie mogę Ci dać pomógł ani nic, więc możesz sobie dopisać jedno XD
Przetworzyłam sobie, co mi powiedziałeś, rozumiem.

Re: Zastosowania funkcji kwadratowej

: 5 wrz 2019, o 00:36
autor: a4karo
Odbij sobie cały obrazek symetrycznie względem przeciwprostokątnej. Otrzymasz czworokąt \(\displaystyle{ EFF'E'}\). Pole trójkąta jest ćwierć pola tego czworokąta. CO więcej, niezależnie od położenia wierzchołków obwód czworokąta jest stały i równy \(\displaystyle{ 8}\).

Czworokąt o ustalonym obwodzie i największym polu jest kwadratem.

Koniec.

Re: Zastosowania funkcji kwadratowej

: 5 wrz 2019, o 18:30
autor: Niepokonana
Dziękuję