Matematyka.pl

Dany jest trójkąt prostokątny równoramienny (ABC) o przeciwprostokątnej długości 4. Na bokach tego trójkąta obrano punkty D, E, F, takie że D jest środkiem przeciwprostokątnej, a odcinek EF jest do niej równoległy. Jakie jest największe możliwe pole trójkąta DEF?
No więc to nie jest pierwsze forum, na którym to piszę, męczę się z tym od tygodnia, umiem policzyć tylko długości boków trójkąta ABC. Proszę bez żadnych trygonometrii, tylko z podobieństwa trójkątów/Pitagorasa.

\(\displaystyle{ P_{EFD}=P_{ABC}-P_{AFE}-2P_{FBD}}\) gdzie A jest wierzchołkiem kąta prostego

Tak, zrobiłam taki rysunek, ale skąd wziąć pole 2FBD? I jak to potem wszystko złożyć?

Przyprostokątne trójkąta AFE oznacz jako (x). Wtedy podstawa trójkąta FBD ma \(\displaystyle{ 2\sqrt 2 -x}\), a wysokość poprowadzoną do podstawy powinnaś znać.
Szukane pole będzie zależne od (x), i będziesz szukała max tego pola.

Mam tak, ale nie wiem co dalej, proszę rozwiąż mi od początku do końca. Przy kącie prostym mamy mały trójkąt \(\displaystyle{ x^{2}:2}\) to to wiem, ale dalej?

Ustawmy trójkąt ABC tak aby jego przyprostokątne były pionowo (AC) i poziomo (AB a na niej F).

Zajmijmy się trójkątem FBD, wtedy:
\(\displaystyle{ |FB|=2\sqrt 2 -x}\) (o czym pisałem)
wysokość tego trójkąta poprowadzona z D ma \(\displaystyle{ \sqrt 2}\)
Zatem szukane pole \(\displaystyle{ P_{EFD}=0,5\cdot \left(2\sqrt 2\right)^2-0,5x^2-2\cdot 0,5(2\sqrt 2-x)\sqrt 2}\) (o tym ogólnie też pisałem) i szukamy max otrzymanej funkcji (w zależności od x).

Pytaj.

Dobra, teraz tylko powiedz, skąd wiedziałeś, że wysokość z \(\displaystyle{ d}\) wynosi pierwiastek z dwóch

Ale co ma to do rzeczy? Czyli chcesz mi powiedzieć, że skoro długość przeciwprostokątnej to 4, a mini trójkąt po zrobieniu wysokości jest równoramienny, to suma kwadratów mini boku i mini wysokości jest równa 4, a że mini bok i mini wysokość są równe, to kwadrat mini wysokości jest równy 2 a więc mini wysokość jest równa 2?

Trójkąt \(\displaystyle{ ABC}\) ustawiony tak jak pisałem.
Wysokość poprowadzona z \(\displaystyle{ D}\) pionowa. Niech jej drugi koniec to będzie \(\displaystyle{ G}\).
Trójkąt \(\displaystyle{ DGB}\) jest prostokątny równoramienny o przeciwprostokątnej \(\displaystyle{ 2}\). Czyli jego przyprostokątne (np \(\displaystyle{ DG}\)) mają po \(\displaystyle{ \sqrt 2}\).

No to tak jak mówię Dziękuję, nie mogę Ci dać pomógł ani nic, więc możesz sobie dopisać jedno XD
Przetworzyłam sobie, co mi powiedziałeś, rozumiem.

Odbij sobie cały obrazek symetrycznie względem przeciwprostokątnej. Otrzymasz czworokąt \(\displaystyle{ EFF'E'}\). Pole trójkąta jest ćwierć pola tego czworokąta. CO więcej, niezależnie od położenia wierzchołków obwód czworokąta jest stały i równy \(\displaystyle{ 8}\).

Czworokąt o ustalonym obwodzie i największym polu jest kwadratem.

Koniec.

Dziękuję