Zastosowania funkcji kwadratowej

Zagadnienia dot. funkcji kwadratowej. RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI kwadratowe i pierwiastkowe. Układy równań stopnia 2.
Niepokonana
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 405
Rejestracja: 4 sie 2019, o 11:12
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 71 razy
Pomógł: 2 razy

Zastosowania funkcji kwadratowej

Post autor: Niepokonana » 4 wrz 2019, o 18:33

Dany jest trójkąt prostokątny równoramienny (ABC) o przeciwprostokątnej długości 4. Na bokach tego trójkąta obrano punkty D, E, F, takie że D jest środkiem przeciwprostokątnej, a odcinek EF jest do niej równoległy. Jakie jest największe możliwe pole trójkąta DEF?
No więc to nie jest pierwsze forum, na którym to piszę, męczę się z tym od tygodnia, umiem policzyć tylko długości boków trójkąta ABC. Proszę bez żadnych trygonometrii, tylko z podobieństwa trójkątów/Pitagorasa.

piasek101
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 22984
Rejestracja: 8 kwie 2008, o 22:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: piaski
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 3107 razy

Re: Zastosowania funkcji kwadratowej

Post autor: piasek101 » 4 wrz 2019, o 20:26

\(\displaystyle{ P_{EFD}=P_{ABC}-P_{AFE}-2P_{FBD}}\) gdzie A jest wierzchołkiem kąta prostego

Niepokonana
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 405
Rejestracja: 4 sie 2019, o 11:12
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 71 razy
Pomógł: 2 razy

Re: Zastosowania funkcji kwadratowej

Post autor: Niepokonana » 4 wrz 2019, o 20:34

Tak, zrobiłam taki rysunek, ale skąd wziąć pole 2FBD? I jak to potem wszystko złożyć?

piasek101
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 22984
Rejestracja: 8 kwie 2008, o 22:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: piaski
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 3107 razy

Re: Zastosowania funkcji kwadratowej

Post autor: piasek101 » 4 wrz 2019, o 20:37

Przyprostokątne trójkąta AFE oznacz jako (x). Wtedy podstawa trójkąta FBD ma \(\displaystyle{ 2\sqrt 2 -x}\), a wysokość poprowadzoną do podstawy powinnaś znać.
Szukane pole będzie zależne od (x), i będziesz szukała max tego pola.

Niepokonana
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 405
Rejestracja: 4 sie 2019, o 11:12
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 71 razy
Pomógł: 2 razy

Re: Zastosowania funkcji kwadratowej

Post autor: Niepokonana » 4 wrz 2019, o 20:58

Mam tak, ale nie wiem co dalej, proszę rozwiąż mi od początku do końca. Przy kącie prostym mamy mały trójkąt \(\displaystyle{ x^{2}:2}\) to to wiem, ale dalej?

piasek101
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 22984
Rejestracja: 8 kwie 2008, o 22:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: piaski
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 3107 razy

Re: Zastosowania funkcji kwadratowej

Post autor: piasek101 » 4 wrz 2019, o 21:14

Ustawmy trójkąt ABC tak aby jego przyprostokątne były pionowo (AC) i poziomo (AB a na niej F).

Zajmijmy się trójkątem FBD, wtedy:
\(\displaystyle{ |FB|=2\sqrt 2 -x}\) (o czym pisałem)
wysokość tego trójkąta poprowadzona z D ma \(\displaystyle{ \sqrt 2}\)
Zatem szukane pole \(\displaystyle{ P_{EFD}=0,5\cdot \left(2\sqrt 2\right)^2-0,5x^2-2\cdot 0,5(2\sqrt 2-x)\sqrt 2}\) (o tym ogólnie też pisałem) i szukamy max otrzymanej funkcji (w zależności od x).

Pytaj.

Niepokonana
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 405
Rejestracja: 4 sie 2019, o 11:12
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 71 razy
Pomógł: 2 razy

Re: Zastosowania funkcji kwadratowej

Post autor: Niepokonana » 4 wrz 2019, o 21:25

Dobra, teraz tylko powiedz, skąd wiedziałeś, że wysokość z \(\displaystyle{ d}\) wynosi pierwiastek z dwóch :)

piasek101
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 22984
Rejestracja: 8 kwie 2008, o 22:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: piaski
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 3107 razy

Re: Zastosowania funkcji kwadratowej

Post autor: piasek101 » 4 wrz 2019, o 21:27

Niepokonana pisze:
4 wrz 2019, o 18:33
... D jest środkiem przeciwprostokątnej

Niepokonana
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 405
Rejestracja: 4 sie 2019, o 11:12
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 71 razy
Pomógł: 2 razy

Re: Zastosowania funkcji kwadratowej

Post autor: Niepokonana » 4 wrz 2019, o 21:33

Ale co ma to do rzeczy? Czyli chcesz mi powiedzieć, że skoro długość przeciwprostokątnej to 4, a mini trójkąt po zrobieniu wysokości jest równoramienny, to suma kwadratów mini boku i mini wysokości jest równa 4, a że mini bok i mini wysokość są równe, to kwadrat mini wysokości jest równy 2 a więc mini wysokość jest równa 2?

piasek101
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 22984
Rejestracja: 8 kwie 2008, o 22:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: piaski
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 3107 razy

Re: Zastosowania funkcji kwadratowej

Post autor: piasek101 » 4 wrz 2019, o 21:37

Trójkąt \(\displaystyle{ ABC}\) ustawiony tak jak pisałem.
Wysokość poprowadzona z \(\displaystyle{ D}\) pionowa. Niech jej drugi koniec to będzie \(\displaystyle{ G}\).
Trójkąt \(\displaystyle{ DGB}\) jest prostokątny równoramienny o przeciwprostokątnej \(\displaystyle{ 2}\). Czyli jego przyprostokątne (np \(\displaystyle{ DG}\)) mają po \(\displaystyle{ \sqrt 2}\).

Niepokonana
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 405
Rejestracja: 4 sie 2019, o 11:12
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 71 razy
Pomógł: 2 razy

Re: Zastosowania funkcji kwadratowej

Post autor: Niepokonana » 4 wrz 2019, o 21:39

No to tak jak mówię :) Dziękuję, nie mogę Ci dać pomógł ani nic, więc możesz sobie dopisać jedno XD
Przetworzyłam sobie, co mi powiedziałeś, rozumiem.

a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 16999
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 2 razy
Pomógł: 2856 razy

Re: Zastosowania funkcji kwadratowej

Post autor: a4karo » 5 wrz 2019, o 00:36

Odbij sobie cały obrazek symetrycznie względem przeciwprostokątnej. Otrzymasz czworokąt \(\displaystyle{ EFF'E'}\). Pole trójkąta jest ćwierć pola tego czworokąta. CO więcej, niezależnie od położenia wierzchołków obwód czworokąta jest stały i równy \(\displaystyle{ 8}\).

Czworokąt o ustalonym obwodzie i największym polu jest kwadratem.

Koniec.

Niepokonana
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 405
Rejestracja: 4 sie 2019, o 11:12
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 71 razy
Pomógł: 2 razy

Re: Zastosowania funkcji kwadratowej

Post autor: Niepokonana » 5 wrz 2019, o 18:30

Dziękuję

ODPOWIEDZ