Matematyka.pl

1. Dla jakich wartości parametru m (należy do R) iloczyn liczb rzeczywistych x,y spełniających układ równych \(\displaystyle{ \begin{cases} x+y = 2m-1\\x^{2}+y^{2}=m^{2}+2m-3\end{cases}}\) przyjmuje wartość najmniejszą?


2. Zbadaj liczbę rozwiązań układu równań \(\displaystyle{ \begin{cases} x^{2}-y^{2}+a(x+y)=x-y+a\\x^{2}+y^{2}+x-1=0\end{cases}}\) w zależności od wartości parametru a (nalezy do R).


3.Dla jakich wartości parametru m równanie \(\displaystyle{ 2x^{2}-(3m+2)x+12=0}\)
a) ma pierwiastki spełniające warunek \(\displaystyle{ |x_{1}-x_{2}|=1}\)
b) ma jednakowe rozwiązania z równaniem \(\displaystyle{ 4x^{2}-(9m-2)x+36=0}\)? Znajdź te rozwiązania.

Co do pierwszego, to wpadłem na taki pomysł, dodamy obustronnie 2xy do drugiego równania i podstawimy pierwsze równanie, potem wyliczymy minimum funkcji xy=...:
\(\displaystyle{ x^2+2xy+y^2=m^2+2m-3+2xy \\ (x+y)^2=m^2+2m-3+2xy \\ (2m-1)^2=m^2+2m-3+2xy \\ 4m^2-4m+1=m^2+2m-3+2xy \\ 3m^2-6m+4=2xy \\ xy=\frac{3}{2}m^2-3m+2 \\ m_{w}=\frac{-(-3)}{2\cdot \frac{3}{2}} =1 \\ (xy)_{min}=\frac{3}{2}-3+2=\frac{1}{2}}\)