Matematyka.pl

Naszkicuj wykres funkcji \(\displaystyle{ y=f(m)}\), która każdemu argumentowi \(\displaystyle{ m \in \RR}\) przyporządkuje liczbę rozwiązań równania.
Równanie: \(\displaystyle{ (m^{2}-1)x^{2}+2(m-1)x+1=0}\)

O co w tym chodzi?

Najpierw musisz przedyskutować liczbę rozwiązań rownania w zależności od \(\displaystyle{ m}\) - standardowo dla jakich \(\displaystyle{ m}\) ma dwa, jedno bądź zero rozwiązań. Tą pozornie dziwną funkcją zajmiemy się potem.

2 dla \(\displaystyle{ m<1}\) 1 \(\displaystyle{ m=0}\) i 0 \(\displaystyle{ m>1}\)
Co dalej?

Jeszcze zanim zaczniemy analizę liczby rozwiązań w zależności od \(\displaystyle{ m}\), to najpierw trzeba mieć pewność, że równanie to jest kwadratowe, czyli że w równaniu: \(\displaystyle{ ax^2+bx+c=0}\) zachodzi \(\displaystyle{ a \neq 0}\). Czyli sprawdzamy najpierw, co się dzieje, gdy \(\displaystyle{ m^2-1=0}\), czyli co się dzieje gdy \(\displaystyle{ m=-1 \vee m=1}\)?

Niepokonana pisze:2 dla \(\displaystyle{ m<1}\) 1 \(\displaystyle{ m=0}\) i 0 \(\displaystyle{ m>1}\)

Słabo to wygląda - dla \(\displaystyle{ m=0}\) mamy półtora rozwiązania (no bo skoro mamy zarówno dwa, jak i jedno, to chyba trzeba wziąć średnią...), a dla \(\displaystyle{ m=1}\) w ogóle nie wiadomo...

JK

\(\displaystyle{ m = -1}\) równanie liniowe - ma jedno rozwiązanie \(\displaystyle{ x_{0}= \frac{1}{2}.}\)

\(\displaystyle{ m =1}\) - równanie sprzeczne, bo \(\displaystyle{ 0 +1 = 0.}\)

\(\displaystyle{ \Delta = -8m + 8 < 0, \ \ m> 1}\) - brak rozwiązań

\(\displaystyle{ \Delta = -8m +8 > 0, \ \ m< 1}\) - dwa rozwiązania z wyłączeniem \(\displaystyle{ m = -1}\), gdy równanie ma dokładnie jedno rozwiązanie.

\(\displaystyle{ f(m) = \begin{cases} 0 \ \ \mbox{gdy} \ \ m\geq 1 \\ 1 \ \ \mbox{gdy} \ \ m = -1 \ \ \\2 \ \ \mbox{ gdy} \ \ m< 1 \wedge m \neq -1 \end{cases}}\)

Proszę sprawdzić i narysować wykres funkcji \(\displaystyle{ f(m).}\)

Aaaa dobra, dzięki, bo nie zaczaiłam, o co chodzi z tym \(\displaystyle{ f(m)}\), ale dobra.
Zostało jeszcze tylko jedno zadanie z tego tematu i potem zastosowania funkcji kwadratowej i planimetria. ^^