Równania kwadratowe z parametrem 6

[Niepokonana]

I chcesz mi powiedzieć, że mam tylko je sprawdzić i mi wyjdzie?

[janusz47]

Pierwszy sposób

Zakładamy, że równanie ma dwa różne pierwiastki (chociaż nie wynika to z treści zadania), więc przyjmujemy, że jego wyróżnik \(\displaystyle{ \Delta > 0.}\)

Rysujemy wykres paraboli z ramionami skierowanymi do góry, bo \(\displaystyle{ a = 1>0,}\) przecinającej oś \(\displaystyle{ OX}\) w punktach \(\displaystyle{ x_{1}, \ \ x_{2}, \ \ x_{1}<x_{2}}\) oraz zaznaczamy z prawej strony od punktów \(\displaystyle{ x_{1}, x_{2}}\) na osi \(\displaystyle{ OX}\) punkt \(\displaystyle{ 2.}\)

Z rysunku wynika, że współrzędna wierzchołka paraboli \(\displaystyle{ x_{w} = -\frac{b}{2a}< 2}\) i wartość funkcji \(\displaystyle{ f(2) >0}\), bo ramiona paraboli skierowane są do góry i odcinek pionowy o końcach \(\displaystyle{ [(2,0), (2, f(2))]}\) leży nad osią \(\displaystyle{ OX.}\)

Mamy więc trzy warunki:

\(\displaystyle{ \begin{cases} \Delta >0 \\ x_{w} = -\frac{b}{2a}< 2 \\ f(2) > 0 \end{cases}}\)


\(\displaystyle{ \begin{cases} (m-1)^2 > 0\\ \frac{m+1}{2} < 2 \\ 2^2 -(m+1)\cdot 2+m >0 \end{cases}}\)


\(\displaystyle{ \begin{cases} m \in \RR \setminus \{1\} \\ m< 3 \\ m< 2 \end{cases}}\)

Częścią wspólną tych przedziałów jest

\(\displaystyle{ m\in (-\infty, 1 ) \cup (1, 2)}\) (proszę zaznaczyć na osi \(\displaystyle{ OX).}\)


Drugi sposób

\(\displaystyle{ \begin{cases} x_{1}< 2 \\ x_{2}< 2 \end{cases}}\)

\(\displaystyle{ \begin{cases} x_{1} -2< 0 \\ x_{2}- 2<0 \end{cases}}\)

Uwzględniamy iloczyn obu stron nierówności

\(\displaystyle{ ( x_{1} -2)\cdot (x_{2} -2 ) > 0}\)

\(\displaystyle{ x_{1}\cdot x_{2} - 2(x_{1}+ x_{2}) +4 > 0}\)

\(\displaystyle{ \frac{c}{a} -2\left(-\frac{b}{a}\right) + 4 > 0}\)

\(\displaystyle{ m - 2 (m+1) + 4 >0}\)

\(\displaystyle{ m < 2}\)

Z warunkiem \(\displaystyle{ \Delta = (m-1)^2 > 0, \ \ m\in \RR\setminus\{1\}}\) otrzymujemy to samo rozwiązanie na wartości parametru \(\displaystyle{ m}\)

\(\displaystyle{ m\in (-\infty, 1 ) \cup (1, 2).}\)

[Niepokonana]

Aaa dobra, dzięki Janusz.
Tak szczerze to ja to zadanie zrobiłam po pierwszym komentarzu, ale miło mi, że jest tutaj taka zażyła dyskusja.