Równania kwadratowe z parametrem i wartość bezwzględna

[Niepokonana]

Równanie \(\displaystyle{ x^{2}+bx-4=0}\) ma dwa pierwiastki. Oblicz \(\displaystyle{ b}\), jeżeli suma wartości bezwzględnych tych pierwiastków wynosi \(\displaystyle{ 5}\).
Jak przerobić to na wzory Viete'a? Wiadomo, delta jest zawsze dodatnia, bo \(\displaystyle{ +16}\). Wiem też, że suma tych pierwiastków jest mniejsza równa \(\displaystyle{ 5}\), ale większa równa \(\displaystyle{ -5}\), co dalej?

[janusz47]

Podnosimy obie strony równania do kwadratu

\(\displaystyle{ (|x_{1}| + |x_{2}|)^2 = 5^2}\)

i stosujemy wzór na kwadrat sumy modułów dwóch liczb, pamiętając, że kwadrat modułu liczby \(\displaystyle{ |x|^2 = x^2,}\)

a podwojony iloczyn modułów tych liczb jest równy

\(\displaystyle{ 2|x_{1}||x_{2}| = 2|x_{1}\cdot x_{2}| = 2\left| \frac{c}{a}\right|.}\)

[kerajs]

Można inaczej.
Ponieważ pierwiastki są różnych znaków (bo \(\displaystyle{ x_1x_2= \frac{-4}{1}<0}\) ) oraz \(\displaystyle{ \frac{-b- \sqrt{\Delta} }{2a} < \frac{-b+ \sqrt{\Delta} }{2a}}\) (gdyż \(\displaystyle{ a=1>0}\) ) więc:
\(\displaystyle{ \left|x_1 \right|+ \left|x_2 \right|=- \left( \frac{-b- \sqrt{\Delta} }{2a} \right) +\frac{-b+ \sqrt{\Delta} }{2a}=\frac{\sqrt{\Delta} }{a}= \sqrt{b^2+16}}\)
Stąd:
\(\displaystyle{ \left|x_1 \right|+ \left|x_2 \right|=5\\
\sqrt{b^2+16}=5 \\
b=-3 \ \vee \ b=3}\)

[Niepokonana]

Ok, zrobione, jutro zajmę się następnymi zadaniami Całe szczęście, że zostało mi już tylko 7 zadań.