Równania kwadratowe z parametrem i wartość bezwzględna

Zagadnienia dot. funkcji kwadratowej. RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI kwadratowe i pierwiastkowe. Układy równań stopnia 2.
Niepokonana
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 221
Rejestracja: 4 sie 2019, o 11:12
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 35 razy
Pomógł: 1 raz

Równania kwadratowe z parametrem i wartość bezwzględna

Post autor: Niepokonana » 17 sie 2019, o 21:05

Równanie \(\displaystyle{ x^{2}+bx-4=0}\) ma dwa pierwiastki. Oblicz \(\displaystyle{ b}\), jeżeli suma wartości bezwzględnych tych pierwiastków wynosi \(\displaystyle{ 5}\).
Jak przerobić to na wzory Viete'a? Wiadomo, delta jest zawsze dodatnia, bo \(\displaystyle{ +16}\). Wiem też, że suma tych pierwiastków jest mniejsza równa \(\displaystyle{ 5}\), ale większa równa \(\displaystyle{ -5}\), co dalej?
Ostatnio zmieniony 17 sie 2019, o 21:19 przez Afish, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Całe wyrażenia matematyczne umieszczaj w tagach [latex] [/latex].

janusz47
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5044
Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
Płeć: Mężczyzna
Pomógł: 1107 razy

Re: Równania kwadratowe z parametrem i wartość bezwzględna

Post autor: janusz47 » 17 sie 2019, o 21:26

Podnosimy obie strony równania do kwadratu

\(\displaystyle{ (|x_{1}| + |x_{2}|)^2 = 5^2}\)

i stosujemy wzór na kwadrat sumy modułów dwóch liczb, pamiętając, że kwadrat modułu liczby \(\displaystyle{ |x|^2 = x^2,}\)

a podwojony iloczyn modułów tych liczb jest równy

\(\displaystyle{ 2|x_{1}||x_{2}| = 2|x_{1}\cdot x_{2}| = 2\left| \frac{c}{a}\right|.}\)

Awatar użytkownika
kerajs
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7171
Rejestracja: 17 maja 2013, o 10:23
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 205 razy
Pomógł: 2852 razy

Re: Równania kwadratowe z parametrem i wartość bezwzględna

Post autor: kerajs » 17 sie 2019, o 22:04

Można inaczej.
Ponieważ pierwiastki są różnych znaków (bo \(\displaystyle{ x_1x_2= \frac{-4}{1}<0}\) ) oraz \(\displaystyle{ \frac{-b- \sqrt{\Delta} }{2a} < \frac{-b+ \sqrt{\Delta} }{2a}}\) (gdyż \(\displaystyle{ a=1>0}\) ) więc:
\(\displaystyle{ \left|x_1 \right|+ \left|x_2 \right|=- \left( \frac{-b- \sqrt{\Delta} }{2a} \right) +\frac{-b+ \sqrt{\Delta} }{2a}=\frac{\sqrt{\Delta} }{a}= \sqrt{b^2+16}}\)
Stąd:
\(\displaystyle{ \left|x_1 \right|+ \left|x_2 \right|=5\\ \sqrt{b^2+16}=5 \\ b=-3 \ \vee \ b=3}\)
Ostatnio zmieniony 17 sie 2019, o 22:30 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.

Niepokonana
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 221
Rejestracja: 4 sie 2019, o 11:12
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 35 razy
Pomógł: 1 raz

Re: Równania kwadratowe z parametrem i wartość bezwzględna

Post autor: Niepokonana » 17 sie 2019, o 22:29

Ok, zrobione, jutro zajmę się następnymi zadaniami Całe szczęście, że zostało mi już tylko 7 zadań.

ODPOWIEDZ