Równania czwartego stopnia z parametrem

[Niepokonana]

Nie wiem, czy to dobry dział, ale to chyba to.

Oblicz \(\displaystyle{ b}\), jeżeli suma odwrotności czwartych potęg pierwiastków równania \(\displaystyle{ 3x^{2}+bx-4=0}\) wynosi \(\displaystyle{ 5 \frac{1}{8}}\). Nie wiem jak \(\displaystyle{ \frac{1}{x^{4}_{1}} + \frac{1}{x^{4}_{2}}}\) rozpisać na wzory Viete'a. Ale tak poza tym to wiem, o co chodzi.

[janusz47]

Nie zapominamy o znaku wyróżnika \(\displaystyle{ \Delta}\)

oraz rozpisujemy

\(\displaystyle{ \frac{1}{x^{4}_{1}} + \frac{1}{x^{4}_{2}} = \frac{x^{4}_{1} + x^{4}_{2}}{(x_{1}x_{2})^ 4}}\)

\(\displaystyle{ x^{4}_{1} + x^{4}_{2} = ( x^{2}_{1}+ x^{2}_{2})^2 - 2(x^{2}_{1}x^{2}_{2})= ( x^{2}_{1}+ x^{2}_{2})^2 - 2(x_{1}x_{2})^2.}\)

Zamieniamy w nawiasie sumę kwadratów na:

\(\displaystyle{ x^{2}_{1}+ x^{2}_{2} = (x_{1} + x_{2})^2 - 2x_{1}x_{2}}\)

Teraz wzory Viet'a.

[Niepokonana]

Nie zapominamy o znaku wyróżnika \(\displaystyle{ \Delta}\)

\(\displaystyle{ x^{4}_{1} + x^{4}_{2} = ( x^{2}_{1}+ x^{2}_{2})^2 - 2(x^{2}_{1}x^{2}_{2})= ( x^{2}_{1}+ x^{2}_{2})^2 - 2(x_{1}x_{2})^2.}\)

.

Nie za bardzo rozumiem skąd się to wzięło, ale ok
Sorry, tam miała być 5 i jedna ósma, ale zrobił się błąd w formule i nie mogę edytować.

EDIT: wychodzi mi takie coś:
\(\displaystyle{ \frac{b^{4}-48b^{2}+288}{256}}\) Dobrze? Ciekawe czy to na górze to wzór skróconego mnożenia.
EDIT2 nawet jak to nie wzór skróconego mnożenia to zrobię tak by był.
EDIT 3:
\(\displaystyle{ \frac{(b^{2}-24)^{2}}{256} - \frac{50}{8} =0 }\)
Teraz pozostaje tylko pytanie jak przerobić to coś na równanie takie normalne.

[janusz47]

Proszę porządnie podstawić wzory Viete,

najpierw na \(\displaystyle{ x^{2}_{1} + x^{2}_{2}=...}\)

potem na

\(\displaystyle{ x^{4}_{1}+ x^{4}_{2} =...}\)

a na końcu na

\(\displaystyle{ \frac{1}{x^{4}_{1}}+ \frac{1}{x^{4}_{2}}=...}\)

[Niepokonana]

Nie rozumiem o co ci chodzi.
EDIt: w zadaniu jest napisane \(\displaystyle{ 5 \frac{1}{8}}\), tylko mi zrobił się błąd.

[janusz47]

Chodzi o wyznaczenie :

\(\displaystyle{ \frac{1}{x^{4}_{1}} + \frac{1}{x^{4}_{2}}}\) w zależności od współczynników \(\displaystyle{ a, b, c}\) równania \(\displaystyle{ ax^2 +bx + c = 0.}\)

[Niepokonana]

Na pewno zrobię błąd w latexie, proszę się tym nie przejmować.
To będzie:
\(\displaystyle{ \frac{((- \frac{b}{a})^{2}-2 \frac{c}{a})^{2}-2 (\frac{c}{a})^{2} }{ (\frac{c}{a})^{4} }}\)

[janusz47]

Dobrze, dalej nie upraszczamy, podstawiamy dane liczbowe współczynników \(\displaystyle{ a = 3, \ \ b = b,\ \ c = -4,}\) otrzymując równanie:

\(\displaystyle{ \frac{1}{x^4_{1}} + \frac{1}{x^4_{2}} = \frac{\left [\left(-\frac{b}{3}\right )^2 - 2\frac{-4}{3}\right]^2 - 2\left(\frac{-4}{3}\right)^2}{\left(-\frac{4}{3}\right)^4} = 5 \frac{1}{8}=\frac{41}{8}}\)

................................................................................

\(\displaystyle{ (b^2 + 24)^2 = 1600}\)

\(\displaystyle{ b^2 + 24 = 40, \ \ b^2 = 16, \ \ b_{1} = -4 \vee b_{2} = 4.}\)

Sprawdzamy dla \(\displaystyle{ b_{1}= - 4, \ \ b_{2} = 4}\) - znak wyróżnika \(\displaystyle{ \Delta}\)

\(\displaystyle{ \Delta = (-4)^2 - 4\cdot 3\cdot (-4) = (4)^2 -4\cdot 3(-4) = 64>0}\)

\(\displaystyle{ b_{1} = -4 \vee b_{2} = 4.}\)

Proszę o samodzielne sprawdzenie.

[Niepokonana]

Aaaa ok, dzięki rozumiem. Tak, wyszło mi, tylko wcześniej zrobiłam błąd, ale poprawiłam.