Równania kwadratowe z parametrem 2

[Niepokonana]

Jeżeli ma być tylko 1 zadanie na temat, to ok, ale tego tych zadań jest dużo... :/ Tak z 10-14 z tego tematu.
Wyznacz wartości \(\displaystyle{ m}\), dla których zbiorem wartości \(\displaystyle{ Y}\) jest przedział \(\displaystyle{ ( \infty;1\rangle}\).
\(\displaystyle{ f(x)=(m-1)x^{2}+(m-1)x+m+1}\)

To znaczy, ja próbowałam to zrobić tak

\(\displaystyle{ (m-1)x^{2}+(m-1)x+m+1 \le 1 \\
(m-1)x^{2}+(m-1)x+m \le 0}\)
Delta równania: \(\displaystyle{ (m-1)^{2}-4m(m-1)=m^{2}-2m+1-4m^{2}+4=-3m^2+2m+5}\)
Delta \(\displaystyle{ m=64}\)
\(\displaystyle{ m=-2 \vee m= \frac{-10}{6}}\)

Co dalej?

[Premislav]

Obawiam się, że \(\displaystyle{ \left(\infty; 1 \right \rangle=\varnothing}\).
Raczej chodziło Ci o \(\displaystyle{ \left(-\infty; 1 \right \rangle}\).

Ja bym zaczął od odrzucenia \(\displaystyle{ m=1}\).

Wyróżnik został obliczony niepoprawnie (błąd w rachunkach), wszak
\(\displaystyle{ (m-1)^{2}-4m(m-1)=-3m^2+2m+1}\)

Nie rozumiem też, skąd później pojawiają Ci się te liczby. Zastanawiałaś się w ogóle, co Ci konkretnie da obliczenie tego wyróżnika?
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

Ja bym postąpił tak:
1. Jeśli \(\displaystyle{ m=1}\), to warunki zadania nie są spełnione, gdyż \(\displaystyle{ f}\) jest funkcją stale równą \(\displaystyle{ 2}\). Natomiast jeśli \(\displaystyle{ m>1}\), to zbiór wartości funkcji \(\displaystyle{ f}\) jest nieograniczony z góry (ramiona paraboli skierowane do góry). Aby zbiorem wartości \(\displaystyle{ f}\) był \(\displaystyle{ \left(-\infty, 1\right\rangle}\), musi być więc \(\displaystyle{ m<1}\).
2. Dla funkcji kwadratowej o ujemnym współczynniku przy \(\displaystyle{ x^2}\) (ramiona paraboli skierowane w dół) największa wartość jest przyjmowana w wierzchołku, czyli w tym przypadku w punkcie \(\displaystyle{ -\frac 1 2}\). Musi być zatem \(\displaystyle{ f\left( -\frac 1 2\right)=1}\), co daje Ci równanie kwadratowe zmiennej \(\displaystyle{ m}\). Rozwiązujesz to równanie.
3. Bierzesz część wspólną zbioru rozwiązań równania z punktu 2. i nierówności z punktu 1. Wówczas (wynika to z wykresu \(\displaystyle{ f}\), a bardziej formalnie np. z tw. Darboux, którego podobno w liceum nie ma) istotnie zbiorem wartości funkcji \(\displaystyle{ f(x)}\) dla \(\displaystyle{ x\in \RR}\) będzie \(\displaystyle{ \left(-\infty; 1\right\rangle}\)

[Niepokonana]

Ok, tylko powiedz, czy gdyby było "dla których funkcja przyjmuje tylko wartości ujemne" to robiłoby się tak samo?

[Premislav]

No tak, tylko wówczas \(\displaystyle{ f\left( x_w\right)}\) (gdzie \(\displaystyle{ x_w}\) to pierwsza współrzędna wierzchołka paraboli będącej wykresem \(\displaystyle{ f}\)) musiałaby być liczbą ujemną, a nie być równe \(\displaystyle{ 1}\), czyli zamiast równania \(\displaystyle{ f(x_w)=1}\) rozwiązywałabyś nierówność \(\displaystyle{ f(x_w)<0}\).