Strona 1 z 3

Równania kwadratowe z parametrem

: 12 sie 2019, o 19:15
autor: Niepokonana
Dla jakich wartości m równanie ma 2 różne pierwiastki dodatnie a dla jakich 2 ujemne?
\(\displaystyle{ -x^{2}+2mx+m^{2}-1=0}\)

\(\displaystyle{ 2x^{2}+(2-m)x+m=0}\)

Dla jakich wartości m równanie ma podwójny pierwiastek będący liczbą ujemną?
\(\displaystyle{ (m+1)x^{2}+(m-1)x+2=0}\)

Jak robię deltą, to mi nie wychodzi, nie wiem, jak to zrobić.

Re: Równania kwadratowe z parametrem

: 12 sie 2019, o 19:23
autor: a4karo
Pokaż jak i co robisz

Re: Równania kwadratowe z parametrem

: 12 sie 2019, o 19:23
autor: janusz47
Równanie kwadratowe ma dwa różne pierwiastki \(\displaystyle{ x_{1}, x_{2}}\), gdy ....?

Dwa różne pierwiastki \(\displaystyle{ x_{1}, x_{2}}\) są dodatnie, gdy ich suma jest ...? i ich iloczyn jest....?

Dwa różne pierwiastki \(\displaystyle{ x_{1}, x_{2}}\) są ujemne, gdy ich suma jest ...? i ich iloczyn jest ....?

Równanie kwadratowe ma jeden pierwiastek (podwójny) \(\displaystyle{ x_{0}}\), gdy ....?

Pierwiastek ten jest liczbą ujemną, gdy ...?

Re: Równania kwadratowe z parametrem

: 12 sie 2019, o 19:34
autor: Niepokonana
1. Delta jest większa niż zero.
2. Suma powyżej zera i tak samo iloczyn.
3. Suma poniżej zera, iloczyn dodatni.
4. Delta jest zerem.
5. Nie wiem.
Ale jak mam to zrobić?

Re: Równania kwadratowe z parametrem

: 12 sie 2019, o 19:37
autor: Premislav
Świetnie, to teraz oblicz wyróżnik w tych przypadkach (wzór na wyróżnik chyba znasz), a da określenia znaków tych sum i iloczynów użyj wzorów Viete'a. klik!


A co do tego piątego, wzory Viete'a działają też dla pierwiastków wielokrotnych. Przykład: weźmy sobie trójmian kwadratowy \(\displaystyle{ t(x)=x^2-4x+4}\). Ma on pierwiastek podwójny \(\displaystyle{ x_0=2}\), a wzory Viete'a wskazują, że suma jego pierwiastków wynosi \(\displaystyle{ 4}\), a iloczyn również \(\displaystyle{ 4}\).
Po prostu pierwiastek podwójny we wzorach Viete'a jest liczony dwa razy (i tak z innymi pierwiastkami wielokrotnymi dla wielomianów wyższych stopni: pierwiastek o krotności \(\displaystyle{ k}\) jest liczony \(\displaystyle{ k}\) razy).

Re: Równania kwadratowe z parametrem

: 12 sie 2019, o 19:56
autor: Niepokonana
\(\displaystyle{ \frac{-b}{a}=2m}\) \(\displaystyle{ \frac{c}{a}=1-m^{2}}\) delta to \(\displaystyle{ 8m^{2}-4}\) Delta jest większa niż zero jeżeli \(\displaystyle{ m> \frac{ \sqrt{2}}{2} \vee m< \frac{- \sqrt{2} }{2}}\) Co dalej?

Re: Równania kwadratowe z parametrem

: 12 sie 2019, o 20:04
autor: janusz47
"Suma powyżej zera i tak samo iloczyn" \(\displaystyle{ 2m >0 , \ \ 1 - m^2 > 0}\)

Znajdujemy część wspólną zbiorów rozwiązań tych nierówności i \(\displaystyle{ \Delta >0.}\)

Re: Równania kwadratowe z parametrem

: 12 sie 2019, o 20:05
autor: a4karo
Jak zwykle robisz haos. Jeden wątek - jedno zadanie

Re: Równania kwadratowe z parametrem

: 12 sie 2019, o 20:10
autor: janusz47
Bez uwag!

Re: Równania kwadratowe z parametrem

: 12 sie 2019, o 20:11
autor: Premislav
Kiedy janusz47 robił w przedszkolu ludzika z kasztanów, to wyszedł mu niezbyt dobry.

Re: Równania kwadratowe z parametrem

: 12 sie 2019, o 20:15
autor: janusz47
Kiedy to było?

Re: Równania kwadratowe z parametrem

: 13 sie 2019, o 10:05
autor: a4karo
a4karo pisze:Jak zwykle robisz haos. Jeden wątek - jedno zadanie
ale fstyt

Re: Równania kwadratowe z parametrem

: 13 sie 2019, o 11:32
autor: Niepokonana
A4karo, nie umiesz rozwiązać, to się nie wtrącaj, ok? A poza tym to jest jedno zadanie, ale z podpunktami.

Dobra, mam już te 2 pierwsze, a jak zrobić to z podwójnym pierwiastkiem?

Re: Równania kwadratowe z parametrem

: 13 sie 2019, o 11:51
autor: Premislav
Takie wjeżdżanie na ambicję wydaje mi się bardzo niekulturalne, zresztą gdy nie jest się w stanie zrobić schematycznego zadania, które ludzie w gimnazjum (a nie, bo już nie ma gimnazjów) trzaskają ze wzorów skróconego mnożenia, to nie sądzę, by warto było dywagować o tym, kto co umie. Możesz zaraportować post, jeśli uważasz, że nic nie wnosi lub dodać użytkownika do wrogów, jeśli nie życzysz sobie oglądać jego wypowiedzi (choć prościej nie czytać).

1) współczynnik przy \(\displaystyle{ x^2}\) różny od zera;
2) wyróżnik trójmianu (czy tam delta, jak wolisz) równy zero;
3) skoro wyróżnik jest równy zero, to podwójny pierwiastek jest po prostu postaci \(\displaystyle{ -\frac{b}{2a},}\) no i to ma być mniejsze od zera.

Ale gdybyś nie chciała oddzielać tego przypadku, to tak jak pisałem (ale chyba to przeoczyłaś) wzory Viete'a tak samo dobrze sprawdzają się w przypadku pierwiastków wielokrotnych, tylko że wtedy w tych sumach/iloczynach liczymy to jako \(\displaystyle{ k}\) takich samych pierwiastków (gdy jest pierwiastek stopnia \(\displaystyle{ k, \ k>1}\)), a nie jeden.


janusz47, to był suchar (nie ja go wymyśliłem): https://www.youtube.com/watch?v=hClJclcJ4qw
11:53

Re: Równania kwadratowe z parametrem

: 13 sie 2019, o 13:34
autor: Niepokonana
Człowieku, w gimnazjum to nam nawet takich zadań nie pokazywano XD Liczyło się pole i obwód trójkątów i czworokątów.

A więc... Delta równa się \(\displaystyle{ (m-3)^{2}=0 \Rightarrow m=3}\)

\(\displaystyle{ \frac{-b}{2a}= \frac{1-m}{2m+2}}\) I to jest mniejsze od zera, gdy \(\displaystyle{ m>1 \vee m<1}\)
Co dalej?