Równania kwadratowe z parametrem

[janusz47]

Musimy uwzględnić alternatywę dwóch warunków.

Warunek pierwszy, gdy rozwiązujemy równanie liniowe.

Warunek drugi, gdy rozwiązujemy równanie kwadratowe z wyróżnikiem \(\displaystyle{ \Delta =0.}\)

Co zapisujemy

\(\displaystyle{ (m+1 = 0 \wedge \frac{-2}{m-1}<0) \vee (m+1 \neq 0 \wedge -\frac{b}{2a} = -\frac{m-1}{2(m+1)} <0 ).}\)

[Niepokonana]

Jakie równanie liniowe? Skąd się wzięło?

[janusz47]

Z uwzględnienia \(\displaystyle{ a =0}\) w równaniu kwadratowym \(\displaystyle{ ax^2 +bx +c =0.}\)

Pamiętajmy, że chodzi o wartości parametru \(\displaystyle{ m,}\) żeby dane równanie miało dokładnie jeden pierwiastek ujemny. W naszym przypadku, gdy \(\displaystyle{ a = m+1 = 0,}\) powstałe z równania kwadratowego - równanie liniowe ma dokładnie jeden pierwiastek \(\displaystyle{ x_{0}= \frac{-2}{m-1}.}\)-- 13 sie 2019, o 14:47 --Dla \(\displaystyle{ m-1 \neq 0 \ \ m\neq 1.}\)

[Niepokonana]

Dlatego \(\displaystyle{ m \neq -1}\)
Nieee, to musi być kwadratowe... Tylko ja tego nie rozumiem, bo w odpowiedziach jest jakaś liczba z pierwiastkiem.

[Premislav]

Warunek pierwszy, gdy rozwiązujemy równanie liniowe.

W treści zadania jest mowa o pierwiastku podwójnym, więc przypadek równania liniowego należy wykluczyć, jak już pisałem.

Niepokonana, to pokaż tę liczbę z pierwiastkiem z odpowiedzi.

[Niepokonana]

W odpowiedziach jest \(\displaystyle{ m=5+4 \sqrt{2}}\) i ja nie wiem, skąd się to wzięło.

[janusz47]

Musi być kwadratowe i należy uwzględnić przypadek, gdy może być równaniem liniowym.

W zadaniach dotyczących równań kwadratowych z parametrem, czy równań z parametrem wyższych stopni, uwzględnia się przypadki, kiedy współczynnik przy najwyższej potędze równania może być równy zeru, zwłaszcza, gdy ten współczynnik zawiera nieznany parametr \(\displaystyle{ m.}\)

W tym zadaniu pierwszy z warunków

\(\displaystyle{ ( m=-1 \wedge -2(m-1)<0) \rightarrow (m=-1 \wedge m> 1 )}\) jest sprzeczny, ale należało go uwzględnić.

Warunek drugi składa się z nierówności:

\(\displaystyle{ a =m+1 \neq 0 \wedge \Delta = (m-1)^2 -4(m+1)\cdot 2=0 \wedge -\frac{b}{2a}=-\frac{m-1}{2(m+1)}<0}\)

Proszę rozwiązać układ tych trzech nierówności.

[Premislav]

Rozumiem, że to jest na pewno odpowiedź do tego zadania:

Dla jakich wartości \(\displaystyle{ m}\) równanie ma podwójny pierwiastek będący liczbą ujemną?
\(\displaystyle{ (m+1)x^{2}+(m-1)x+2=0}\)

Liczba z odpowiedzi jest w takim razie poprawna (tzn. nie ma gwarancji, że to jest cała odpowiedź, bo są dwie możliwe liczby, które wychodzą z przyrównania wyróżnika do zera, które to daje równanie kwadratowe zmiennej \(\displaystyle{ m}\)), ponieważ dla takiego \(\displaystyle{ m}\), jak podano będzie
\(\displaystyle{ (m+1)x^2+(m-1)x+2=(6+4\sqrt{2})x^{2}+(4+4\sqrt{2})x+2=2\left[ (1+\sqrt{2})x+1\right]^2}\), ogólnie dla \(\displaystyle{ m\neq -1}\) mamy
\(\displaystyle{ (m+1)x^2+(m-1)x+2=(m+1)\left( x+\frac{m-1}{2m+2}\right)^2+2- \frac{(m-1)^2}{4(m+1)}}\)
(to jest właśnie z grubsza to wykorzystanie wzorów skróconego mnożenia na poziomie gimnazjum; nie forsowałem tego rozwiązania, ponieważ uznałem, że chcesz opanować typowy sposób podejścia do problemu).

Niepokonana, jeśli takich pierwiastków nie otrzymałaś, to źle obliczyłaś wyróżnik trójmianu \(\displaystyle{ (m+1)x^{2}+(m-1)x+2}\) (dla \(\displaystyle{ m\neq -1}\)) lub niepoprawnie rozwiązałaś równanie kwadratowe, które wynika z przyrównania tego wyróżnika do zera.
Pokaż swoje obliczenia, to może coś poradzimy.

i należy uwzględnić przypadek, gdy może być równaniem liniowym

wujku Januszu, a Ty umiesz czytać, czy nie? [nawiązanie do reklamy akcji Cała Polska czyta dzieciom]. Należało ten przypadek wykluczyć, a nie uwzględnić, ponieważ jeśli masz równanie liniowe, to nie będzie pierwiastka podwójnego. Co się robi w szkole, to mnie nie interesuje, ja wiem (akurat w tej prostej sprawie, nie w każdym możliwym kontekście), co jest poprawne, a co nie.

[Niepokonana]

\(\displaystyle{ (m+1)x^2+(m-1)x+2=(m+1)\left( x+\frac{m-1}{2m+2}\right)^2+2- \frac{(m-1)^2}{4(m+1)}}\)
Skąd się wzięło to całe \(\displaystyle{ (x +\frac{-b}{a} )^{2}}\)
EDIT: raz mi wychodzi delta \(\displaystyle{ m^{2}-6m+9}\) a raz \(\displaystyle{ m^{2}-10m-8}\)... Także moje obliczenia są złe.

Wzory skróconego mnożenia to też liceum.

[janusz47]

Pierwszy warunek;

\(\displaystyle{ m \neq -1}\)

Drugi warunek

\(\displaystyle{ m^2 -10m -7 =0, \ \ m_{1}= \frac{10+8\sqrt{2}}{2} = 5 + 4\sqrt{2}, \ \ m_{2} = 5 -4\sqrt{2}}\)

Warunek trzeci

\(\displaystyle{ -2(m+1)(m-1) <0 , \ \ m\in( -\infty, 1) \cup (1, \infty)}\)

Tylko liczba \(\displaystyle{ 5 + 4\sqrt{2}}\) spełnia układ tych trzech warunków.

W przypadku pierwiastka podwójnego wynikającego z treści zadania rozpatrywanie równania liniowego jest zbędne.

[Premislav]

Skąd się wzięło to całe \(\displaystyle{ (x +\frac{-b}{a} )^{2}}\)?

Jak masz trójmian kwadratowy
\(\displaystyle{ ax^2+bx+c}\), gdzie \(\displaystyle{ a\neq 0}\), to możesz go przepisać w takiej oto postaci:
\(\displaystyle{ a\left( x^2+\frac b a \cdot x+\frac c a\right)}\)
Chcielibyśmy zapisać to w formie
\(\displaystyle{ a\left((x-d)^2+e\right)}\)
Narzuca się tu wzór na kwadrat sumy:
\(\displaystyle{ \left( x+\frac b {2a}\right)^2=x^2+\frac b a\cdot x+\frac{b^2}{4a^2}}\)
tylko musimy to trochę przerobić, coś dodać i odjąć, wszak w nawiasie wyskoczyło nam
\(\displaystyle{ \frac{c}{a}}\), a nie \(\displaystyle{ \frac{b^2}{4a^2}}\). W tym celu zapisujemy
\(\displaystyle{ 0=\frac{b^2}{4a^2} -\frac{b^2}{4a^2}}\)
i mamy
\(\displaystyle{ a\left( x^2+\frac b a \cdot x+\frac c a\right)=a\left( x^2+\frac b a \cdot x+\frac{b^2}{4a^2}-\frac{b^2}{4a^2}+\frac c a\right)}\)
Korzystamy ze wspomnianego wzoru na kwadrat sumy i jest:
\(\displaystyle{ a\left( \left( x+\frac b {2a}\right)^2 -\frac{b^2}{4a^2}+\frac c a\right)}\)
no i teraz jak ma być pierwiastek podwójny, to to wyrażenie
\(\displaystyle{ -\frac{b^2}{4a^2}+\frac c a}\) musi być równe zero.

A jeśli wychodzi Ci zły wyróżnik, to piszę Ci chyba po raz trzeci, zaprezentuj, proszę, swoje obliczenia krok po kroku. A jeśli nie chce Ci się ich wpisywać na forum, to jest sobie stronka np. wolframalpha.com.

Wzory skróconego mnożenia to też liceum.

Sic transit gloria mundi.

[Niepokonana]

Nooo moje obliczenia to:
Delta \(\displaystyle{ (m-1)^{2}-8(m+1)=m^{2}-10m-8}\)
I \(\displaystyle{ \frac{-b}{2a}= \frac{1-m}{2m+2}< 0}\) \(\displaystyle{ m \neq -1}\) [m mniejsze niż -1 lub m większe od 1 i toby było na tyle...

EDIT: Wzięłam przepisałam te dziwne wzory.
\(\displaystyle{ \frac{-b^{2}}{4a^{2}} + \frac{c}{a}=0}\)

\(\displaystyle{ \frac{-(m-1)^{2}}{4(m+1)^{2}} + \frac{2}{m+1}=0}\)

\(\displaystyle{ \frac{-(m-1)^{2}}{4(m+1)^{2}}+ \frac{8(m+1)}{4(m+1)^{2}} =0}\)

Potem
\(\displaystyle{ \frac{-m^{2}+10m+7}{4(m+1)^{2}} =0}\)

Czy to już? Tylko wyliczyć deltą m z licznika?

[janusz47]

Równanie kwadratowe z warunku zerowania się wyróżnika \(\displaystyle{ \Delta}\)

\(\displaystyle{ m^2 -10m -7 = 0,}\)

z którego wynika, że tylko jeden z jego dwóch pierwiastków \(\displaystyle{ m_{1}= 5 + 4\sqrt{2}}\) jest różny od \(\displaystyle{ m\neq -1}\) i zawiera się w jednym z sumy dwóch przedziałów \(\displaystyle{ (-\infty, -1 ) \cup (1, +\infty)}\)

[Niepokonana]

No to już zrobiłam wychodzi \(\displaystyle{ m=5-4 \sqrt{2} \vee 5+4 \sqrt{2}}\). Tylko dlaczego tego pierwszego m nie ma w odpowiedziach, skoro niby pasuje?

[janusz47]

Bp pierwiastek \(\displaystyle{ m_{2} = 5 - 4\sqrt{2} \approx -0.65685}\) i jest większy od \(\displaystyle{ -1}\) - nie zawiera się w sumie przedziałów \(\displaystyle{ (-\infty -1 ) \cup (1, \infty).}\)