Równania kwadratowe z parametrem

Zagadnienia dot. funkcji kwadratowej. RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI kwadratowe i pierwiastkowe. Układy równań stopnia 2.
Awatar użytkownika
Niepokonana
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1546
Rejestracja: 4 sie 2019, o 11:12
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 335 razy
Pomógł: 20 razy

Równania kwadratowe z parametrem

Post autor: Niepokonana »

Dla jakich wartości m równanie ma 2 różne pierwiastki dodatnie a dla jakich 2 ujemne?
\(\displaystyle{ -x^{2}+2mx+m^{2}-1=0}\)

\(\displaystyle{ 2x^{2}+(2-m)x+m=0}\)

Dla jakich wartości m równanie ma podwójny pierwiastek będący liczbą ujemną?
\(\displaystyle{ (m+1)x^{2}+(m-1)x+2=0}\)

Jak robię deltą, to mi nie wychodzi, nie wiem, jak to zrobić.
a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 22173
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 38 razy
Pomógł: 3748 razy

Re: Równania kwadratowe z parametrem

Post autor: a4karo »

Pokaż jak i co robisz
janusz47
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7910
Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 30 razy
Pomógł: 1670 razy

Re: Równania kwadratowe z parametrem

Post autor: janusz47 »

Równanie kwadratowe ma dwa różne pierwiastki \(\displaystyle{ x_{1}, x_{2}}\), gdy ....?

Dwa różne pierwiastki \(\displaystyle{ x_{1}, x_{2}}\) są dodatnie, gdy ich suma jest ...? i ich iloczyn jest....?

Dwa różne pierwiastki \(\displaystyle{ x_{1}, x_{2}}\) są ujemne, gdy ich suma jest ...? i ich iloczyn jest ....?

Równanie kwadratowe ma jeden pierwiastek (podwójny) \(\displaystyle{ x_{0}}\), gdy ....?

Pierwiastek ten jest liczbą ujemną, gdy ...?
Awatar użytkownika
Niepokonana
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1546
Rejestracja: 4 sie 2019, o 11:12
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 335 razy
Pomógł: 20 razy

Re: Równania kwadratowe z parametrem

Post autor: Niepokonana »

1. Delta jest większa niż zero.
2. Suma powyżej zera i tak samo iloczyn.
3. Suma poniżej zera, iloczyn dodatni.
4. Delta jest zerem.
5. Nie wiem.
Ale jak mam to zrobić?
Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15685
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 195 razy
Pomógł: 5219 razy

Re: Równania kwadratowe z parametrem

Post autor: Premislav »

Świetnie, to teraz oblicz wyróżnik w tych przypadkach (wzór na wyróżnik chyba znasz), a da określenia znaków tych sum i iloczynów użyj wzorów Viete'a.

Kod: Zaznacz cały

https://pl.wikipedia.org/wiki/Wzory_Vi%C3%A8te%E2%80%99a#Tr%C3%B3jmian_kwadratowy



A co do tego piątego, wzory Viete'a działają też dla pierwiastków wielokrotnych. Przykład: weźmy sobie trójmian kwadratowy \(\displaystyle{ t(x)=x^2-4x+4}\). Ma on pierwiastek podwójny \(\displaystyle{ x_0=2}\), a wzory Viete'a wskazują, że suma jego pierwiastków wynosi \(\displaystyle{ 4}\), a iloczyn również \(\displaystyle{ 4}\).
Po prostu pierwiastek podwójny we wzorach Viete'a jest liczony dwa razy (i tak z innymi pierwiastkami wielokrotnymi dla wielomianów wyższych stopni: pierwiastek o krotności \(\displaystyle{ k}\) jest liczony \(\displaystyle{ k}\) razy).
Awatar użytkownika
Niepokonana
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1546
Rejestracja: 4 sie 2019, o 11:12
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 335 razy
Pomógł: 20 razy

Re: Równania kwadratowe z parametrem

Post autor: Niepokonana »

\(\displaystyle{ \frac{-b}{a}=2m}\) \(\displaystyle{ \frac{c}{a}=1-m^{2}}\) delta to \(\displaystyle{ 8m^{2}-4}\) Delta jest większa niż zero jeżeli \(\displaystyle{ m> \frac{ \sqrt{2}}{2} \vee m< \frac{- \sqrt{2} }{2}}\) Co dalej?
janusz47
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7910
Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 30 razy
Pomógł: 1670 razy

Re: Równania kwadratowe z parametrem

Post autor: janusz47 »

"Suma powyżej zera i tak samo iloczyn" \(\displaystyle{ 2m >0 , \ \ 1 - m^2 > 0}\)

Znajdujemy część wspólną zbiorów rozwiązań tych nierówności i \(\displaystyle{ \Delta >0.}\)
a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 22173
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 38 razy
Pomógł: 3748 razy

Re: Równania kwadratowe z parametrem

Post autor: a4karo »

Jak zwykle robisz haos. Jeden wątek - jedno zadanie
janusz47
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7910
Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 30 razy
Pomógł: 1670 razy

Re: Równania kwadratowe z parametrem

Post autor: janusz47 »

Bez uwag!
Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15685
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 195 razy
Pomógł: 5219 razy

Re: Równania kwadratowe z parametrem

Post autor: Premislav »

Kiedy janusz47 robił w przedszkolu ludzika z kasztanów, to wyszedł mu niezbyt dobry.
janusz47
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7910
Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 30 razy
Pomógł: 1670 razy

Re: Równania kwadratowe z parametrem

Post autor: janusz47 »

Kiedy to było?
a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 22173
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 38 razy
Pomógł: 3748 razy

Re: Równania kwadratowe z parametrem

Post autor: a4karo »

a4karo pisze:Jak zwykle robisz haos. Jeden wątek - jedno zadanie
ale fstyt
Awatar użytkownika
Niepokonana
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1546
Rejestracja: 4 sie 2019, o 11:12
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 335 razy
Pomógł: 20 razy

Re: Równania kwadratowe z parametrem

Post autor: Niepokonana »

A4karo, nie umiesz rozwiązać, to się nie wtrącaj, ok? A poza tym to jest jedno zadanie, ale z podpunktami.

Dobra, mam już te 2 pierwsze, a jak zrobić to z podwójnym pierwiastkiem?
Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15685
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 195 razy
Pomógł: 5219 razy

Re: Równania kwadratowe z parametrem

Post autor: Premislav »

Takie wjeżdżanie na ambicję wydaje mi się bardzo niekulturalne, zresztą gdy nie jest się w stanie zrobić schematycznego zadania, które ludzie w gimnazjum (a nie, bo już nie ma gimnazjów) trzaskają ze wzorów skróconego mnożenia, to nie sądzę, by warto było dywagować o tym, kto co umie. Możesz zaraportować post, jeśli uważasz, że nic nie wnosi lub dodać użytkownika do wrogów, jeśli nie życzysz sobie oglądać jego wypowiedzi (choć prościej nie czytać).

1) współczynnik przy \(\displaystyle{ x^2}\) różny od zera;
2) wyróżnik trójmianu (czy tam delta, jak wolisz) równy zero;
3) skoro wyróżnik jest równy zero, to podwójny pierwiastek jest po prostu postaci \(\displaystyle{ -\frac{b}{2a},}\) no i to ma być mniejsze od zera.

Ale gdybyś nie chciała oddzielać tego przypadku, to tak jak pisałem (ale chyba to przeoczyłaś) wzory Viete'a tak samo dobrze sprawdzają się w przypadku pierwiastków wielokrotnych, tylko że wtedy w tych sumach/iloczynach liczymy to jako \(\displaystyle{ k}\) takich samych pierwiastków (gdy jest pierwiastek stopnia \(\displaystyle{ k, \ k>1}\)), a nie jeden.


janusz47, to był suchar (nie ja go wymyśliłem):

Kod: Zaznacz cały

https://www.youtube.com/watch?v=hClJclcJ4qw

11:53
Awatar użytkownika
Niepokonana
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1546
Rejestracja: 4 sie 2019, o 11:12
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 335 razy
Pomógł: 20 razy

Re: Równania kwadratowe z parametrem

Post autor: Niepokonana »

Człowieku, w gimnazjum to nam nawet takich zadań nie pokazywano XD Liczyło się pole i obwód trójkątów i czworokątów.

A więc... Delta równa się \(\displaystyle{ (m-3)^{2}=0 \Rightarrow m=3}\)

\(\displaystyle{ \frac{-b}{2a}= \frac{1-m}{2m+2}}\) I to jest mniejsze od zera, gdy \(\displaystyle{ m>1 \vee m<1}\)
Co dalej?
ODPOWIEDZ