kwadratowy układ równań z x i y

[Niepokonana]

Nie wiem, jak zamienić tak, żeby nie było \(\displaystyle{ y}\) do kwadratu.
\(\displaystyle{ \begin{cases} x ^{2}+y ^{2} =25
\\ x-y=1 \end{cases}}\)

[a4karo]

Popraw zapis.
Wyznacz \(\displaystyle{ y}\) z drugiego równania i wstaw do pierwszego. Kwadratu nie usuniesz - świat czasami jest troche zaokrąglony

[albanczyk123456]

a4karo,
Dlaczego nie usunie?
Możesz rozwiąż ten układ równań np tak(szkic):
\(\displaystyle{ \begin{cases} y ^{2} =25-x^{2} \\ y=x-1 \end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} y^{4}=(25-x^{2})^{2} \\ y^{4}=(x-1)^{4} \end{cases}}\)
Przyrównujemy:
\(\displaystyle{ (x-1)^{4}=(25-x^{2})^{2}}\)
Dalej po rozwiązaniu równania wielomianowego wracasz do wyznaczenia y i sprawdzenie rozwiązań równania.

[Janusz Tracz]

albanczyk123456 podnosząc co kwadratu wprowadzasz pierwiastki obce na przykład \(\displaystyle{ x=13}\) spełnia:

Przyrównujemy:
\(\displaystyle{ (x-1)^{4}=(25-x^{2})^{2}}\)

Ale nie spełnia układu co widać z pierwszego równania. Zresztą geometrycznie też się to wtedy nie klei bo okrąg z prostą nie przecinają się w więcej niż dwóch punktach. Łatwiej jest po prosty wstawiać \(\displaystyle{ y=x-1}\) do pierwszego równania i rozwiązać r. kwadratowe. Czyli wstawiamy i mamy \(\displaystyle{ (x-1)^2=25-x^2}\) czego rozwiązaniem jest \(\displaystyle{ x=-3}\) lub \(\displaystyle{ x=4}\)

[Premislav]

Podstawmy \(\displaystyle{ x=5cos varphi, y=5sin varphi, varphiin [0,2pi)}\), na co pozwala pierwsze równanie układu. Do rozwiązania pozostaje:
\(\displaystyle{ 5\cos \varphi-5\sin \varphi=1\\ \sin\left( \frac \pi 2-\varphi\right)+\sin(-\varphi) =\frac 1 5\\ 2\sin\left( \frac \pi 4-\varphi\right)\cos \frac \pi 4=\frac 1 5\\ \sin\left( \frac \pi 4-\varphi\right) =\frac{\sqrt{2}}{10}}\)
Teraz ponieważ \(\displaystyle{ varphiin [0,2pi)}\)…
i tak dalej (arcus sinus, ewentualne przesunięcie…).
Jak widać nie ma kwadratu.

[a4karo]

Za to są krzywe funkcje trygonometryczne. Świat nie składa się z samych linii prostych

[Niepokonana]

Premislav, no fakt, nie ma kwadratu, ale nie znam jeszcze trygonometrii, także nie wiem, co zrobiłeś.
A4karo, Twój pomysł z podstawieniem zadziałał, ale co podstawić w takim przypadku?\(\displaystyle{ \frac{3}{x}}\) niby pasuje, ale wtedy sprawa się komplikuje. To samo zadanie, inny podpunkt.
\(\displaystyle{ \begin{cases} x ^{2} + y ^{2} =10
\\ xy=3 \end{cases}}\)

[a4karo]

Wsk. Oblicz \(\displaystyle{ (x+y)^2}\)

[Norbert Wyszynski]

Wystarczy wyznaczyć "Y" w równaniu.

[a4karo]

A może bez liczenia:
Hiperbola \(\displaystyle{ xy=3}\) i okrąg \(\displaystyle{ x^2+y^2=10}\) mają \(\displaystyle{ 0,2}\) lub \(\displaystyle{ 4}\) punkty wspólne (symetria względem początku układu).

Łatwo zgadujemy rozwiązanie \(\displaystyle{ (3,1)}\), a reszta już łatwo: \(\displaystyle{ (1,3), (-3,-1)}\) i \(\displaystyle{ (-1,-3)}\)

[Niepokonana]

A może bez liczenia:
Hiperbola \(\displaystyle{ xy=3}\) i okrąg \(\displaystyle{ x^2+y^2=10}\) mają \(\displaystyle{ 0,2}\) lub \(\displaystyle{ 4}\) punkty wspólne (symetria względem początku układu).

Łatwo zgadujemy rozwiązanie \(\displaystyle{ (3,1)}\), a reszta już łatwo: \(\displaystyle{ (1,3), (-3,-1)}\) i \(\displaystyle{ (-1,-3)}\)

A mógłbyś bardziej się rozwinąć? Nie rozumiem.

[a4karo]

To sobie narysuj. Serio

[Niepokonana]

Nie chcesz mi wytłumaczyć swojego sposobu, no to nie, trudno, niech ktoś inny powie.

Inny zadanie z tej kategorii. Co się robi, jak jest parametr?

Zbadaj liczbę rozwiązań w zależności od parametru m.
\(\displaystyle{ \begin{cases} 2x^{2}-3x=2+y \\ x^{2}+2(m-1)x=4m+y \end{cases}}\)

\(\displaystyle{ \begin{cases} y=m^{2}+1 \\ x^{2}=y-m \end{cases}}\)

[a4karo]

Nie chcesz mi wytłumaczyć swojego sposobu, no to nie, trudno, niech ktoś inny powie.

Przecież wytłumaczyłęm. Narysowałaś? To teraz patrz...

[Niepokonana]

A da się to policzyć bez rysowania?