kwadratowy układ równań z x i y

[Niepokonana]

Aaaa, dobra, to stąd się to wzięło.

Zbadaj liczbę rozwiązań w zależności od parametru m.
\(\displaystyle{ \begin{cases} 2x^{2}-3x=2+y \\ x^{2}+2(m-1)x=4m+y \end{cases}}\)

\(\displaystyle{ \begin{cases} y=m^{2}+1 \\ x^{2}=y-m \end{cases}}\)

Ok, jeszcze proszę o wytłumaczenie mi jak się za to zabrać, bo nawet ni wiem, co tu zrobić. Jak dla mnie to jest równanie z trzema niewiadomymi...

[MrCommando]

Niewiadome są dwie. Liczba \(\displaystyle{ m}\) to jest jakiś parametr, ustalona liczba. Może okazać się, że jeśli na przykład \(\displaystyle{ m=1}\) to układ jest sprzeczny, a jeżeli na przykład \(\displaystyle{ m=5}\), to ma jedno rozwiązanie (nie sprawdzałem czy akurat dla tych dwóch wartości faktycznie tak jest, to tylko przykład). Twoim zadaniem jest sprawdzenie dla jakich wartości \(\displaystyle{ m}\) układ ma ile rozwiązań. Teraz jaśniej co trzeba zrobić?

[Niepokonana]

Ale jak się to robi, że się sprawdza?
Ja pomnożyłam w pierwszym przez 2, pozbyłam się kwadratu i wyszło mi, że \(\displaystyle{ 4mx+x=8m-2+y}\)

[MrCommando]

Wyznaczając odpowiednio z pierwszego i drugiego równania \(\displaystyle{ y}\) otrzymamy \(\displaystyle{ y=2x^2-3x-2}\) oraz \(\displaystyle{ y=x^2+2(m-1)x-4m}\). Zatem istnienie jakiegoś rozwiązania wyjściowego układu równoważne jest istnieniu rozwiązania równania \(\displaystyle{ 2x^2-3x-2=x^2+2(m-1)x-4m}\). To równanie po pogrupowaniu odpowiednich wyrażeń równoważne jest \(\displaystyle{ x^2-(2m+1)x+4m-2=0}\). Teraz powinno pójść prosto, żeby zbadać liczbę rozwiązań takiego równania w zależności od \(\displaystyle{ m}\).

[Niepokonana]

Dobra pierwsze mi wyszło.
W drugim delta mi wyszła taka, że \(\displaystyle{ 4m^{2}-4(1-m)(m-1)=8m^2-8m+4}\), ale w takim przypadku nie ma rozwiązania w ogóle.

[MrCommando]

Delta jakiego równania? Nie widzę skąd się ono wzięło. Drugi przykład można zrobić o wiele przyjemniej.

[Niepokonana]

Bo w drugim, jak się złączy równania, to jest \(\displaystyle{ (m-1)x^2+2mx+1-m=0}\)

[MrCommando]

Czy na pewno mówimy o tym samym przykładzie? Jakby chcieć tak zrobić to wyjdzie \(\displaystyle{ m^2-m+1-x^2=0}\). Może coś źle przepisałaś.

Skoro \(\displaystyle{ y=m^2+1}\) oraz \(\displaystyle{ x^2=y-m}\), to \(\displaystyle{ x^2=m^2-m+1}\). Łatwo można sprawdzić, że dla dowolnego \(\displaystyle{ m}\) jest \(\displaystyle{ m^2-m+1>0}\), zatem wyjściowy układ równań zawsze ma dwa rozwiązania \(\displaystyle{ \left(\sqrt{m^2-m+1},m^2+1\right)}\) oraz \(\displaystyle{ \left(-\sqrt{m^2-m+1},m^2+1\right)}\).

[a4karo]

Jak próbujesz w jednym wątku rozwiązywać dwa zadania to zrobi się bałagan

[Jan Kraszewski]

Jak próbujesz w jednym wątku rozwiązywać dwa zadania to zrobi się bałagan

I dlatego polecamy zasadę "Jedno zadanie, jeden wątek".

JK

[Niepokonana]

Ok, przepraszam, ale to jest jeden temat. A tak, źle przepisałam, przepraszam.

\(\displaystyle{ \begin{cases} y=mx^{2}+1 \\ x^{2}-2mx=y-m \end{cases}}\)

[MrCommando]

No to wracając do poprzedniego równania, delta jest zawsze dodatnia, zatem dla dowolnego \(\displaystyle{ m}\) takie równanie ma dwa rozwiązania. A układ?

EDIT: To oczywiście pod warunkiem, że \(\displaystyle{ m\neq 1}\). W przeciwnym razie nasze równanie staje się liniowe i trzeba oddzielnie to rozpatrzyć.

[Niepokonana]

Ten pierwszy przykład mi wyszedł Tylko ten źle przepisany nie...

[mint18]

Można też zapisać \(\displaystyle{ x^2+y^2 = (x-y)^2 + 2xy}\) i podstawić za \(\displaystyle{ x-y=1,}\) ale równania kwadratowego w ten sposób się nie ominie, ale za to rozwiązanie jest szybkie.

[Niepokonana]

Ale skąd wziąłeś, że \(\displaystyle{ x-y=1}\)?