Jakie warunki w równaniu z parametrem

[41421356]

Dla jakich wartości parametru \(\displaystyle{ m}\) każde z dwóch różnych rozwiązań równania \(\displaystyle{ x^2-6mx+2-2m+9m^2=0}\) jest większe od \(\displaystyle{ 3}\)? Jak poprawnie rozpisać te warunki że wzorów Viete'a?

[Kfadrat]

Przepraszam, źle przeczytałem treść zadania.
Takie powinny być warunki:
\(\displaystyle{ 1. \Delta > 0}\)

\(\displaystyle{ 2. \frac{-b}{2a}>3}\)

\(\displaystyle{ 3. f(3)>0}\)

[janusz47]

Wykorzystując wzory Viete'a

\(\displaystyle{ 1. \ \ \Delta >0}\)

\(\displaystyle{ \begin{cases} x_{1}>3 \\ x_{2}> 3 \end{cases}}\)

\(\displaystyle{ 2. \ \ x_{1}+x_{2}> 6.}\)

\(\displaystyle{ \begin{cases} x_{1}-3 >0 \\ x_{2}-3 >0 \end{cases}}\)

\(\displaystyle{ (x_{1}-3)(x_{2}- 3 )>0}\)

\(\displaystyle{ 3. \ \ x_{1}\cdot x_{2} -3(x_{1}+x_{2}) +9 >0.}\)

[41421356]

Ok, a jak wybronić/uargumentować takie, poprawne warunki:

\(\displaystyle{ \Delta >0 \ , \ x_1+x_2>6 \ , \ x_1\cdot x_2>13}\)
?

[piasek101]

Ok, a jak wybronić/uargumentować takie, poprawne warunki:

\(\displaystyle{ \Delta >0 \ , \ x_1+x_2>6 \ , \ x_1\cdot x_2>13}\)
?

Są niepoprawne - czyli złe.

\(\displaystyle{ 2+8>6}\) oraz \(\displaystyle{ 2\cdot 8>13}\) (skąd to 13?)

[41421356]

Obliczyłem odległość pomiędzy pierwiastkami przy założeniu, że mniejszy pierwiastek wynosi trzy. Wówczas większy pierwiastek wyniesie \(\displaystyle{ \frac{13}{3}}\). Stąd mój warunek na iloczyn. Widzę jednak, że podane przez Ciebie przykłady jasno pokazują, że te warunki są niewystarczające (dwójka spełnia je oba). Tylko jak wytłumaczyć, że rozwiązanie \(\displaystyle{ \left(\frac{11}{9},+\infty\right)}\) wychodzi prawidłowe w jednym i drugim przypadku?

[janusz47]

\(\displaystyle{ x^2-6mx + 2-2m+9m^2= 0}\)

\(\displaystyle{ (1) \ \ \Delta = b^2 - 4ac = 36m^2 - 4(2 -2m+9m^2) = -8 + 8m >0, \ \ m>1.}\)

\(\displaystyle{ (2) \ \ x_{1}+x_{2} = -\frac{b}{a} = \frac{6m}{1}>6 , \ \ m> 1,}\)

\(\displaystyle{ (3) \ \ x_{1}\cdot x_{2}-3(x_{1}+x_{2}) +9 = \frac{c}{a} +3\frac{b}{a}+ 9 >0}\)

\(\displaystyle{ \frac{2 - 2m +9m^2}{1} +3\frac{-6m}{1} +9 >0}\)

\(\displaystyle{ 9m^2 -20m +11 >0}\)

\(\displaystyle{ \Delta_{m} = 400 - 396 = 4}\)

\(\displaystyle{ m_{1}= \frac{16}{18} = \frac{8}{9}, \ \ m_{2} =\frac{24}{18}= \frac{4}{3}.}\)

\(\displaystyle{ (3) \ \ m\in \left( -\infty, \frac{8}{9}\right ) \cup \left( \frac{4}{3}, +\infty\right)}\)

Z warunków \(\displaystyle{ (1), (2), (3)}\)

\(\displaystyle{ m\in \left( \frac{4}{3} , +\infty \right ).}\)

[41421356]

janusz47 przy liczeniu pierwiastków zapomniałeś wstawić pierwiastka z delty.

[janusz47]

Tak, już mam sklerozę.

\(\displaystyle{ m_{1} = \frac{18}{18} = 1, \ \ m_{2}= \frac{22}{18}= \frac{11}{9}.}\)

\(\displaystyle{ (3) \ \ m\in( -\infty, 1) \cup \left( \frac{11}{9}, +\infty \right).}\)

Z warunków \(\displaystyle{ (1), (2), (3)}\)

\(\displaystyle{ m\in \left( \frac{11}{9}, +\infty \right).}\)

To samo rozwiązanie otrzymujemy, uwzględniając warunki geometryczne na parabolę, zaproponowane przez Kfadrat.

[piasek101]

... Tylko jak wytłumaczyć, że rozwiązanie \(\displaystyle{ \left(\frac{11}{9},+\infty\right)}\) wychodzi prawidłowe w jednym i drugim przypadku?

Tylko tak się trafiło.

[a4karo]

\(\displaystyle{ x^2-6mx+2-2m+9m^2=0 \Rightarrow (x-3m)^2=2(m-1)}\), co oznacza, że dwa rozwiązania istnieją wtedy i tylko wtedy gdy \(\displaystyle{ m>1}\). Mniejszym z nich jest \(\displaystyle{ x=3m-\sqrt{2(m-1)}}\)
tenże jest większy od \(\displaystyle{ 3}\) gdy \(\displaystyle{ 3m-\sqrt{2(m-1)}>3}\) lub, co równoważne gdy
\(\displaystyle{ 3(m-1)>\sqrt{2(m-1)}}\)

Ponieważ obie strony są dodatnie możemy toto podnieść do kwadratu, podzielić przez \(\displaystyle{ m-1}\) i otrzymać rozwiązanie \(\displaystyle{ 9(m-1)>2}\)