Matematyka.pl

dla jakiego są pierwiastki całkowite

\(\displaystyle{ (m-1)x^2-(m^2+1)x+m^2+m=0}\) parametrem jest m tak dla jasności

\(\displaystyle{ (m-1)x^2-(m^2+1)x+m^2+m=(m-1)x^2-x[m(m-1)+(m+1)]+m(m+1)=\\=
x(m-1)(x-m)-(m+1)(x-m)=(x-m)[x(m-1)-(m+1)]}\)

A więc gdy:
\(\displaystyle{ m \ne 1 \ x=m x=\frac{m+1}{m-1} \\
m=1 x=1}\)

Z pierwszego warunku wiemy, że \(\displaystyle{ m \mathbb{Z}}\) oraz \(\displaystyle{ \frac{m+1}{m-1} \mathbb{Z}}\). Rozwinięcie ułamka:
\(\displaystyle{ \frac{m+1}{m-1}=\frac{m-1+2}{m-1}=1+\frac{2}{m-1}}\)

Zatem możliwe wartości \(\displaystyle{ m}\) to te, dla których ułamek \(\displaystyle{ \frac{2}{m-1}}\) przyjmuje wartości całkowite, czyli \(\displaystyle{ m \{-1,0,2,3 \}}\).

Podsumowując równanie ma całkowite pierwiastki dla \(\displaystyle{ m \{-1,0,1,2,3 \}}\).

wielkie dzięki nie wymyślił bym tego chyba