Wyzanczanie wspolczynników a i c równania kwadartowego

[123qwerty123]

Witam

Dane jest równanie \(\displaystyle{ x^2 + bx + c = 0}\)
Odnajdź takie b i c że są one jednocześnie rozwiązaniami tego równania.

Sprawa polega na tym że mi wyszło ale nie jestem pewien czy doszedłem do wyników w matematyczny sposób.

OK, na początku zauważyłem że ta funkcja jest określona dla każdego x rzeczywistego.
Potem pomyślałem że dla x równego 0 równanie jest spełnione, wtedy podstawiłem i wyszło\(\displaystyle{ c = 0}\), na tej podstawie stwierdziłem że \(\displaystyle{ c = 0}\)

Potem sobie po prostu wstawiłem za x liczbę jeden i równanie zmieniło się w:
\(\displaystyle{ 1 + b + 0 = 0}\)
więc \(\displaystyle{ b = -1}\)

co daje \(\displaystyle{ c = 0}\) i \(\displaystyle{ b = -1.}\)

Teoretycznie wszystko się zgadza ale niemal w ogóle nie wykonałem żadnych obliczeń i chciałbym aby jakiś dobry człowiek pokazał mi jak on by to rozwiązał:)

Pozdrawiam

[piasek101]

Potem pomyślałem że dla x równego 0 równanie jest spełnione, wtedy podstawiłem i

Nie.
Równie dobrze mogłeś pomyśleć, że jest spełnione dla (-768).

Co do zadania - z treści spełniają równanie \(\displaystyle{ x=b}\) oraz \(\displaystyle{ x=c}\).

[Dilectus]

chciałbym aby jakiś dobry człowiek pokazał mi jak on by to rozwiązał:)

Ja jestem tym dobrym człowiekiem.

Sorzystaj ze wzorów Viete'a

\(\displaystyle{ x_1+x_2=- \frac{b}{2a}}\)

\(\displaystyle{ x_1x_2= \frac{c}{a}}\)

U Ciebie \(\displaystyle{ a=1, \ x_1=b, \ x_2= c}\)

\(\displaystyle{ \begin{cases} b+c = \frac{b}{2}\\ bc=c \end{cases}}\)

\(\displaystyle{ b=1, \ c= \frac{1}{2}}\)

[piasek101]

\(\displaystyle{ b=1, \ c= \frac{1}{2}}\)

Bądź lepszym człowiekiem.

[Ania221]

U Ciebie \(\displaystyle{ a=1, \ x_1=b, \ x_2= c}\)

\(\displaystyle{ \begin{cases} b+c = \frac{b}{2}\\ bc=c \end{cases}}\)

\(\displaystyle{ b=1, \ c= \frac{1}{2}}\)

A nie zgubiłeś jednego rozwiązania?
\(\displaystyle{ bc=c}\)

\(\displaystyle{ c(b-1)=0}\)

\(\displaystyle{ c=0 \wedge b=0 \cup b=1 \wedge c= \frac{1}{2}}\)

[piasek101]

Wynik był zły (+ niekompletny).

[edit]

\(\displaystyle{ c=0 \wedge b=0 \cup b=1 \wedge c= \frac{1}{2}}\)

Wg mnie nie.

[Ania221]

Kurczę...rzeczywiście...dla \(\displaystyle{ c=0}\) \(\displaystyle{ b \in R}\)

[piasek101]

Oraz dla \(\displaystyle{ b=1}\) nie może być \(\displaystyle{ c=0,5}\).

Oraz (ponieważ treść jest niedoprecyzowana) istnieje dyskusyjne rozwiązanie \(\displaystyle{ b=c=-0,5}\).

[edit] To co napisałaś w ostatnim nie jest ok. Bo mamy rozwiązanie z innym znakiem niż ma (b).

[123qwerty123]

Aby nie było wątpliwości doprecyzuję treść zadania.
"Dane jest równanie \(\displaystyle{ x^2 + bx+c=0}\) z niewiadomą x. Wyznacz b i c tak by były one rozwiązaniami danego równania"

[piasek101]

Aby nie było wątpliwości doprecyzuję treść zadania.
"Dane jest równanie \(\displaystyle{ x^2 + bx+c=0}\) z niewiadomą x. Wyznacz b i c tak by były one rozwiązaniami danego równania"

I tak jest niedoprecyzowane - nie podają czy podać wszystkie możliwości, albo czy ,,mają być dwoma różnymi".

Rozwiązać tak jak pokazał dobry człowiek (ale poprawnie); albo (co prawda nie rozwinąłem) tak jak podpowiedziałem.

[Dilectus]

\(\displaystyle{ b=1, \ c= \frac{1}{2}}\)

Bądź lepszym człowiekiem.

Oczywiście rąbnąłem się.

\(\displaystyle{ c=- \frac{1}{2}}\)

Dziękuję, za zwrócenie uwagi. Człowiek na stare lata nie umie już rachować...

[piasek101]

\(\displaystyle{ c=- \frac{1}{2}}\)

Eee.

Sprawdzałem \(\displaystyle{ x^2+x-0,5=0}\), teraz widzę, że masz zły wzór Viete'a.

[Dilectus]

Macie rację, wszystko popieprzyłem, łącznie z wzorami Viete'a. Patrzę i nie widzę. Nie patrzcie na mój poprzedni, błędny post. Przepraszam za roztargnienie, zwłaszcza Ciebie 123qwerty123.

Policzmy jeszcze raz

Wzory Viete'a

\(\displaystyle{ x_1+x_2=- \frac{b}{a}}\)

\(\displaystyle{ x_1x_2= \frac{c}{a}}\)

\(\displaystyle{ a=1, \ x_1=b, \ x_2= c}\)

\(\displaystyle{ \begin{cases} b+c = -b\\ bc=c \end{cases}}\)

\(\displaystyle{ b=1, \ c= -2}\)

[Richard del Ferro]

Może jeszcze inaczej

\(\displaystyle{ x^2+bx+c=a(x-b)(x-c)}\)

\(\displaystyle{ x^2+bx+c=ax^2+ax(-b-c)+abc}\)

To samo co wzory Vieta, ale bardziej wielomianowo, bez znajmości wzorów na nie, mniejsza szansa na pomyłkę

Uwaga! Zapisuję to w postaci iloczynowej, a kiedy trójmian ma taką postać? Gdy delta jest nieujemna.

Stąd

\(\displaystyle{ b^2-4c \ge 0}\)

\(\displaystyle{ b^2 \ge 4c}\)

-- 26 lut 2018, o 16:13 --

dwa wielomiany są równe jak odpowiednie ich współczynniki są równe.
porównjamy najwyższe potęgi
\(\displaystyle{ x^2 \wedge ax^2}\)

oczywista oczywistość, że \(\displaystyle{ a=1}\), dlatego nie daje tego już pod klamry
hmm.. i myślę, że jest to dość istotny element tego zadania, więc nie radzę go pomijać(w sensie wiele osób tak przyrównując zapomina, że wielomiany których rozwiązaniami są miejsca \(\displaystyle{ b}\) oraz \(\displaystyle{ c}\) to wszystkie wielomiany postaci
\(\displaystyle{ a(x-b)(x-c)}\)
t.j. dużo osób zapomina o \(\displaystyle{ a}\))

\(\displaystyle{ \begin{cases} b=-b-c \\ c=bc \end{cases}}\)

\(\displaystyle{ \begin{cases} 2b=-c \\ c(1-b)=0 \end{cases}}\)

\(\displaystyle{ \begin{cases} c=-2b \\ c(1-b)=0 \end{cases}}\)

tu wstawiam do drugiego pierwsze
stąd

\(\displaystyle{ 2b(b-1)=0}\)

\(\displaystyle{ b=0}\) \(\displaystyle{ \vee}\) \(\displaystyle{ b=1}\)

Wyliczam sobie \(\displaystyle{ c}\) i sprwadzam warunek \(\displaystyle{ b^2 \ge 4c}\)

Otóz dla \(\displaystyle{ b=1}\) mamy

\(\displaystyle{ \begin{cases} c \in R \\ c=-2 \end{cases}}\)

Ogólnie wielomian

\(\displaystyle{ x^2+x-2=(x-1)(x+2)}\) więc mamy rzeczywiście dwie pary rozwiązań

[Elayne]

Równanie ma rozwiązanie gdy: \(\displaystyle{ 0 \le \Delta \ = b^2 - 4c}\)
Rozpatrzmy przypadek, gdy \(\displaystyle{ b=c}\).
Równanie przyjmuje postać: \(\displaystyle{ x^2 + bx + b = 0}\) oraz warunek, że \(\displaystyle{ b}\) ma być pierwiastkiem tego równania. Mamy zatem:
\(\displaystyle{ b^2 + b^2 + b = 0\\
2b^2 + b = 0\\
b(2b+1) = 0}\)
to \(\displaystyle{ b=-\frac{1}{2}}\) oraz \(\displaystyle{ b=0}\)
Mamy zatem: \(\displaystyle{ b=c=-\frac{1}{2}}\) lub \(\displaystyle{ b=c=0}\)

Plus rozwiązanie Dilectusa.