zadanie optymalizacyjne

[apsl]

mam problem:
Wykaż, że ze wszystkich prostokątów o danym obwodzie największe pole ma kwadrat.

z góry dzięki, pozdr.

[Plant]

Obwód 2p. Boki a, b>0, a,b D_{f}=(0;p)[/latex]
Znajdź wartość największą tej funkcji, sprawdź czy leży w dziedzinie.

[kuch2r]

Ustalmy, \(\displaystyle{ s\in R}\)
gdzie: \(\displaystyle{ s}\) - obwod prostokata
\(\displaystyle{ s=2a+2b}\),
gdzie: \(\displaystyle{ a,b}\) - boki prostokata.
Dalej:
\(\displaystyle{ P=a\cdot b}\) - pole prostokata
Nastepnie:
\(\displaystyle{ s=2a+2b\\s-2b=2a\\a=\frac{s}{2}-b (*)}\)
Stad:
\(\displaystyle{ P=a\cdot b=b\cdot (\frac{s}{2}-b)}\)
Rozwazmy nastepujaca funkcje:
\(\displaystyle{ p(b)=\frac{1}{2}sb-b^2}\)
Zbadamy czy funkcja posiada ekstremum:
\(\displaystyle{ p'(b)=\frac{1}{2}s-2b\\\frac{1}{2}s-2b=0\\\frac{1}{4}s=b}\)
\(\displaystyle{ p''(b)=-2}\)
Podstawiajac:
\(\displaystyle{ \frac{1}{4}s=b}\) do rownania: (*) otrzymujemy, ze:
\(\displaystyle{ a=b}\)

[apsl]

dziekuję