Równanie kwadratowe z parametrem i wartością bezwzględną

[Jmoriarty]

Dane jest równanie \(\displaystyle{ \left| x^{2}+2x-8\right|=5m-25}\) z niewiadomą \(\displaystyle{ x}\) . Mam wyznaczyć zbiór wszystkich wartości parametru \(\displaystyle{ m}\) , dla których równanie ma cztery różne rozwiązania, w tym dokładnie dwa ujemne.
Moje pytanie to jak zrobić to zadanie algebraicznie? Bez rysowania wykresu?

[xxDorianxx]

Wiesz kiedy takie równanie będzie miało \(\displaystyle{ 4}\) rozwiązania?

[Jmoriarty]

No właśnie chyba nie.

[PoweredDragon]

Rozpisz to z definicji wartości bezwzględnej.

[Jmoriarty]

Dobra, to jednak wiedziałem. I co dalej, kiedy dojdę np. już do
1 przypadek: \(\displaystyle{ x^{2}+2x-8=5m-25}\)
2 przypadek: \(\displaystyle{ -x^{2}-2x+8=5m-25}\)
Przedziały, w jakich ma się mieścić rozwiązanie już też wyznaczyłem, ale co teraz zrobić z tymi równaniami?

[PoweredDragon]

I teraz kiedy oba równania w sumie cztery rozwiązania? Oczywiście kiedy każde ma po dwa. A równanie kwadratowe ma rozwiązanie, gdy ...

[Richard del Ferro]

\(\displaystyle{ x^2+2x-8=5m-25}\) \(\displaystyle{ \vee}\) \(\displaystyle{ x^2+2x-8=25-5m}\)

\(\displaystyle{ x^2+2x-5m+17=0}\) \(\displaystyle{ \vee}\) \(\displaystyle{ x^2+2x+5m-33=0}\)

Wyróżnik trójmianu musi być większy od zera.

\(\displaystyle{ W=4-4(17-5m)}\) \(\displaystyle{ \wedge}\) \(\displaystyle{ W=4-4(5m-33)}\)

\(\displaystyle{ W=4(1-17+5m)}\) \(\displaystyle{ \wedge \vee}\) \(\displaystyle{ W=4(1-5m+33)}\)

\(\displaystyle{ W=4(5m-16)}\) \(\displaystyle{ \wedge \vee}\) \(\displaystyle{ W=4(34-5m)}\)

\(\displaystyle{ (5m-16)>0}\) \(\displaystyle{ \wedge}\) \(\displaystyle{ (34-5m)>0}\)

\(\displaystyle{ m> \frac{16}{5}}\) \(\displaystyle{ \wedge}\) \(\displaystyle{ m< \frac{34}{5}}\)

\(\displaystyle{ m \in \left(\frac{16}{5}; \frac{34}{5}\right)}\)

Ale dodatkowo mamy oczywiście \(\displaystyle{ 5m-25 \ge 0}\) ,bo lewa strona to moduł więc, żeby zaszła prawa też musi być.
Przy czym dla \(\displaystyle{ m=5}\) nie możemy otrzymać czterech rozwiązań, ponieważ, z własności wartości bezwzględnej mamy:

\(\displaystyle{ |x|=0 \Leftrightarrow x=0}\)

\(\displaystyle{ m>5}\)

stąd:

\(\displaystyle{ m \in \left(5;6\frac{4}{5}\right)}\)

[Jmoriarty]

Dziękuję bardzo ma pomoc, ale są dwa błędy, próbowałem znaleźć, ale szczerze nie wiem.
Końcowy wynik powinien być \(\displaystyle{ m \in \left(5;6\frac{3}{\textcolor{red}{5}}\bigg\rangle}\) (domknięty prawostronnie), chociaż napisałeś wcześniej \(\displaystyle{ 5}\) , zamiast \(\displaystyle{ 4}\) , ale tak czy inaczej jest błąd, bo jest \(\displaystyle{ \frac{34}{5}}\) , zamiast \(\displaystyle{ \frac{33}{5}}\) .

[Richard del Ferro]

Tak, mój błąd z mianownikiem.

Ta funkcja to inaczej:

\(\displaystyle{ (x+1)^2-9}\)

Więc \(\displaystyle{ |f(p)|=9}\)

Stąd mamy:

\(\displaystyle{ 5m-25<9}\)

\(\displaystyle{ 5m<34}\)

\(\displaystyle{ m< \frac{34}{5} =6 \frac{4}{5}}\)

Tutaj błędu nie ma.

[Jmoriarty]

Powinno być \(\displaystyle{ 5m-25<8}\) , bo widziałem gdzieś rysunek i tylko do \(\displaystyle{ 8}\) są dwa rozwiązania ujemne i dwa dodatnie, potem do wierzchołka (czyli od \(\displaystyle{ 8}\) do \(\displaystyle{ 9}\) ) są trzy ujemne i jedno dodatnie. Jak uwzględnić algebraicznie, żeby dwa były dodatnie, a dwa ujemne i uciąć przedział?

[Dilectus]

Jmoriarty, narysuj wykres funkcji:

\(\displaystyle{ y= \left| x^{2}+2x-8\right|}\)

Wiesz, rysujesz parabolę \(\displaystyle{ x^{2}+2x-8}\) i to, co pod osią \(\displaystyle{ OX}\) odbijasz symetrycznie nad tę oś.

Przyjrzyj się rysunkowi i powiedz, jakie proste \(\displaystyle{ y=5m-25}\) , a więc równoległe do osi \(\displaystyle{ OX}\) przecinają wykres funkcji \(\displaystyle{ y= \left| x^{2}+2x-8\right|}\) w czterech punktach, zgodnie z poleceniem w zadaniu.

[Jmoriarty]

Wiem jak to zrobić graficznie i mam nawet już zrobione, ale właśnie chodzi mi o to, że chce zrobić to jeszcze samą metodą algebraiczną, bez rysunku.

[Richard del Ferro]

Sorry! Ja w ogóle nie zobaczyłem tego, że maja być dwa ujemne. xD!
Użyj wzorów Vieta!

Dwa ujemne to znaczy iloczyn dodatni suma ujemna.

-- 11 sty 2018, o 23:06 --

\(\displaystyle{ x^2+2x-5m+17=0}\)
\(\displaystyle{ x^2+2x+5m-33=0}\)

\(\displaystyle{ \frac{-2}{2} =1}\)

Suma zawsze ujemna, więc wystarczy aby iloczyn dodatni stąd:

\(\displaystyle{ 17-5m>0}\) \(\displaystyle{ \vee}\) \(\displaystyle{ 5m-33>0}\)

\(\displaystyle{ m< \frac{17}{5}=3 \frac{1}{5}}\) \(\displaystyle{ \vee}\) \(\displaystyle{ m> \frac{33}{5}=6 \frac{3}{5}}\)

Zestaw to z tamtymi warunkami i masz.

[Jmoriarty]

Czyli na początku mam jeszcze dodać te dwa założenia? I jak to dokładnie zrobić, pod oba przypadki? I potem część wspólna obu?

[Richard del Ferro]

No zauważ, że wartość bezwzględna zakładka, że równanie ma postać \(\displaystyle{ |x|=y}\) , która jest równoznaczna \(\displaystyle{ x=y}\) lub \(\displaystyle{ x=-y}\) .

Wiec dwa osobne przypadki mamy i nie cześć wspólna tylko suma, bo one w ogóle nie maja nic ze sobą do gadania, albo zajdzie pierwszy albo drugi.

W obu muszą być oba ujemne i tyle.
No możesz najpierw, potem, możesz w samym środku. Ja Ci nie będę mówił jak masz zadania robić. xD
Ja na przykład na maturze dziedzinę robiłem po każdym zadaniu, bo nie zapominam wiec nie muszę stosować "kolejności" rozwiązywania. Mój mózg lubi pracować po swojemu.