Równanie kwadratowe z parametrem i wartością bezwzględną
-
- Użytkownik
- Posty: 273
- Rejestracja: 1 mar 2017, o 23:48
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 80 razy
- Pomógł: 1 raz
Równanie kwadratowe z parametrem i wartością bezwzględną
Dane jest równanie \(\displaystyle{ \left| x^{2}+2x-8\right|=5m-25}\) z niewiadomą \(\displaystyle{ x}\) . Mam wyznaczyć zbiór wszystkich wartości parametru \(\displaystyle{ m}\) , dla których równanie ma cztery różne rozwiązania, w tym dokładnie dwa ujemne.
Moje pytanie to jak zrobić to zadanie algebraicznie? Bez rysowania wykresu?
Moje pytanie to jak zrobić to zadanie algebraicznie? Bez rysowania wykresu?
- xxDorianxx
- Użytkownik
- Posty: 413
- Rejestracja: 1 paź 2016, o 17:06
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Rybnik
- Podziękował: 88 razy
- Pomógł: 22 razy
Re: Równanie kwadratowe z parametrem i wartością bezwzględną
Wiesz kiedy takie równanie będzie miało \(\displaystyle{ 4}\) rozwiązania?
-
- Użytkownik
- Posty: 817
- Rejestracja: 19 lis 2016, o 23:48
- Płeć: Mężczyzna
- wiek: 21
- Lokalizacja: Polska
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 115 razy
Re: Równanie kwadratowe z parametrem i wartością bezwzględną
Rozpisz to z definicji wartości bezwzględnej.
-
- Użytkownik
- Posty: 273
- Rejestracja: 1 mar 2017, o 23:48
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 80 razy
- Pomógł: 1 raz
Re: Równanie kwadratowe z parametrem i wartością bezwzględną
Dobra, to jednak wiedziałem. I co dalej, kiedy dojdę np. już do
1 przypadek: \(\displaystyle{ x^{2}+2x-8=5m-25}\)
2 przypadek: \(\displaystyle{ -x^{2}-2x+8=5m-25}\)
Przedziały, w jakich ma się mieścić rozwiązanie już też wyznaczyłem, ale co teraz zrobić z tymi równaniami?
1 przypadek: \(\displaystyle{ x^{2}+2x-8=5m-25}\)
2 przypadek: \(\displaystyle{ -x^{2}-2x+8=5m-25}\)
Przedziały, w jakich ma się mieścić rozwiązanie już też wyznaczyłem, ale co teraz zrobić z tymi równaniami?
-
- Użytkownik
- Posty: 817
- Rejestracja: 19 lis 2016, o 23:48
- Płeć: Mężczyzna
- wiek: 21
- Lokalizacja: Polska
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 115 razy
Re: Równanie kwadratowe z parametrem i wartością bezwzględną
I teraz kiedy oba równania w sumie cztery rozwiązania? Oczywiście kiedy każde ma po dwa. A równanie kwadratowe ma rozwiązanie, gdy ...
- Richard del Ferro
- Użytkownik
- Posty: 190
- Rejestracja: 13 mar 2016, o 22:48
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 9 razy
- Pomógł: 16 razy
Re: Równanie kwadratowe z parametrem i wartością bezwzględną
\(\displaystyle{ x^2+2x-8=5m-25}\) \(\displaystyle{ \vee}\) \(\displaystyle{ x^2+2x-8=25-5m}\)
\(\displaystyle{ x^2+2x-5m+17=0}\) \(\displaystyle{ \vee}\) \(\displaystyle{ x^2+2x+5m-33=0}\)
Wyróżnik trójmianu musi być większy od zera.
\(\displaystyle{ W=4-4(17-5m)}\) \(\displaystyle{ \wedge}\) \(\displaystyle{ W=4-4(5m-33)}\)
\(\displaystyle{ W=4(1-17+5m)}\) \(\displaystyle{ \wedge \vee}\) \(\displaystyle{ W=4(1-5m+33)}\)
\(\displaystyle{ W=4(5m-16)}\) \(\displaystyle{ \wedge \vee}\) \(\displaystyle{ W=4(34-5m)}\)
\(\displaystyle{ (5m-16)>0}\) \(\displaystyle{ \wedge}\) \(\displaystyle{ (34-5m)>0}\)
\(\displaystyle{ m> \frac{16}{5}}\) \(\displaystyle{ \wedge}\) \(\displaystyle{ m< \frac{34}{5}}\)
\(\displaystyle{ m \in \left(\frac{16}{5}; \frac{34}{5}\right)}\)
Ale dodatkowo mamy oczywiście \(\displaystyle{ 5m-25 \ge 0}\) ,bo lewa strona to moduł więc, żeby zaszła prawa też musi być.
Przy czym dla \(\displaystyle{ m=5}\) nie możemy otrzymać czterech rozwiązań, ponieważ, z własności wartości bezwzględnej mamy:
\(\displaystyle{ |x|=0 \Leftrightarrow x=0}\)
\(\displaystyle{ m>5}\)
stąd:
\(\displaystyle{ m \in \left(5;6\frac{4}{5}\right)}\)
\(\displaystyle{ x^2+2x-5m+17=0}\) \(\displaystyle{ \vee}\) \(\displaystyle{ x^2+2x+5m-33=0}\)
Wyróżnik trójmianu musi być większy od zera.
\(\displaystyle{ W=4-4(17-5m)}\) \(\displaystyle{ \wedge}\) \(\displaystyle{ W=4-4(5m-33)}\)
\(\displaystyle{ W=4(1-17+5m)}\) \(\displaystyle{ \wedge \vee}\) \(\displaystyle{ W=4(1-5m+33)}\)
\(\displaystyle{ W=4(5m-16)}\) \(\displaystyle{ \wedge \vee}\) \(\displaystyle{ W=4(34-5m)}\)
\(\displaystyle{ (5m-16)>0}\) \(\displaystyle{ \wedge}\) \(\displaystyle{ (34-5m)>0}\)
\(\displaystyle{ m> \frac{16}{5}}\) \(\displaystyle{ \wedge}\) \(\displaystyle{ m< \frac{34}{5}}\)
\(\displaystyle{ m \in \left(\frac{16}{5}; \frac{34}{5}\right)}\)
Ale dodatkowo mamy oczywiście \(\displaystyle{ 5m-25 \ge 0}\) ,bo lewa strona to moduł więc, żeby zaszła prawa też musi być.
Przy czym dla \(\displaystyle{ m=5}\) nie możemy otrzymać czterech rozwiązań, ponieważ, z własności wartości bezwzględnej mamy:
\(\displaystyle{ |x|=0 \Leftrightarrow x=0}\)
\(\displaystyle{ m>5}\)
stąd:
\(\displaystyle{ m \in \left(5;6\frac{4}{5}\right)}\)
Ostatnio zmieniony 11 sty 2018, o 22:17 przez SlotaWoj, łącznie zmieniany 2 razy.
Powód: Poprawa wiadomości. Używaj nawiasów wbudowanych.
Powód: Poprawa wiadomości. Używaj nawiasów wbudowanych.
-
- Użytkownik
- Posty: 273
- Rejestracja: 1 mar 2017, o 23:48
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 80 razy
- Pomógł: 1 raz
Re: Równanie kwadratowe z parametrem i wartością bezwzględną
Dziękuję bardzo ma pomoc, ale są dwa błędy, próbowałem znaleźć, ale szczerze nie wiem.
Końcowy wynik powinien być \(\displaystyle{ m \in \left(5;6\frac{3}{\textcolor{red}{5}}\bigg\rangle}\) (domknięty prawostronnie), chociaż napisałeś wcześniej \(\displaystyle{ 5}\) , zamiast \(\displaystyle{ 4}\) , ale tak czy inaczej jest błąd, bo jest \(\displaystyle{ \frac{34}{5}}\) , zamiast \(\displaystyle{ \frac{33}{5}}\) .
Końcowy wynik powinien być \(\displaystyle{ m \in \left(5;6\frac{3}{\textcolor{red}{5}}\bigg\rangle}\) (domknięty prawostronnie), chociaż napisałeś wcześniej \(\displaystyle{ 5}\) , zamiast \(\displaystyle{ 4}\) , ale tak czy inaczej jest błąd, bo jest \(\displaystyle{ \frac{34}{5}}\) , zamiast \(\displaystyle{ \frac{33}{5}}\) .
Ostatnio zmieniony 11 sty 2018, o 22:27 przez SlotaWoj, łącznie zmieniany 2 razy.
Powód: Poprawa wiadomości. Używaj nawiasów wbudowanych. Całe wyrażenie matematyczne od razu koduj w LaTeXu, a nie „po kawałku”.
Powód: Poprawa wiadomości. Używaj nawiasów wbudowanych. Całe wyrażenie matematyczne od razu koduj w LaTeXu, a nie „po kawałku”.
- Richard del Ferro
- Użytkownik
- Posty: 190
- Rejestracja: 13 mar 2016, o 22:48
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 9 razy
- Pomógł: 16 razy
Re: Równanie kwadratowe z parametrem i wartością bezwzględną
Tak, mój błąd z mianownikiem.
Ta funkcja to inaczej:
\(\displaystyle{ (x+1)^2-9}\)
Więc \(\displaystyle{ |f(p)|=9}\)
Stąd mamy:
\(\displaystyle{ 5m-25<9}\)
\(\displaystyle{ 5m<34}\)
\(\displaystyle{ m< \frac{34}{5} =6 \frac{4}{5}}\)
Tutaj błędu nie ma.
Ta funkcja to inaczej:
\(\displaystyle{ (x+1)^2-9}\)
Więc \(\displaystyle{ |f(p)|=9}\)
Stąd mamy:
\(\displaystyle{ 5m-25<9}\)
\(\displaystyle{ 5m<34}\)
\(\displaystyle{ m< \frac{34}{5} =6 \frac{4}{5}}\)
Tutaj błędu nie ma.
-
- Użytkownik
- Posty: 273
- Rejestracja: 1 mar 2017, o 23:48
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 80 razy
- Pomógł: 1 raz
Re: Równanie kwadratowe z parametrem i wartością bezwzględną
Powinno być \(\displaystyle{ 5m-25<8}\) , bo widziałem gdzieś rysunek i tylko do \(\displaystyle{ 8}\) są dwa rozwiązania ujemne i dwa dodatnie, potem do wierzchołka (czyli od \(\displaystyle{ 8}\) do \(\displaystyle{ 9}\) ) są trzy ujemne i jedno dodatnie. Jak uwzględnić algebraicznie, żeby dwa były dodatnie, a dwa ujemne i uciąć przedział?
Ostatnio zmieniony 11 sty 2018, o 21:30 przez Jmoriarty, łącznie zmieniany 1 raz.
-
- Użytkownik
- Posty: 2662
- Rejestracja: 1 gru 2012, o 00:07
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Pomógł: 369 razy
Re: Równanie kwadratowe z parametrem i wartością bezwzględną
Jmoriarty, narysuj wykres funkcji:
\(\displaystyle{ y= \left| x^{2}+2x-8\right|}\)
Wiesz, rysujesz parabolę \(\displaystyle{ x^{2}+2x-8}\) i to, co pod osią \(\displaystyle{ OX}\) odbijasz symetrycznie nad tę oś.
Przyjrzyj się rysunkowi i powiedz, jakie proste \(\displaystyle{ y=5m-25}\) , a więc równoległe do osi \(\displaystyle{ OX}\) przecinają wykres funkcji \(\displaystyle{ y= \left| x^{2}+2x-8\right|}\) w czterech punktach, zgodnie z poleceniem w zadaniu.
\(\displaystyle{ y= \left| x^{2}+2x-8\right|}\)
Wiesz, rysujesz parabolę \(\displaystyle{ x^{2}+2x-8}\) i to, co pod osią \(\displaystyle{ OX}\) odbijasz symetrycznie nad tę oś.
Przyjrzyj się rysunkowi i powiedz, jakie proste \(\displaystyle{ y=5m-25}\) , a więc równoległe do osi \(\displaystyle{ OX}\) przecinają wykres funkcji \(\displaystyle{ y= \left| x^{2}+2x-8\right|}\) w czterech punktach, zgodnie z poleceniem w zadaniu.
-
- Użytkownik
- Posty: 273
- Rejestracja: 1 mar 2017, o 23:48
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 80 razy
- Pomógł: 1 raz
Re: Równanie kwadratowe z parametrem i wartością bezwzględną
Wiem jak to zrobić graficznie i mam nawet już zrobione, ale właśnie chodzi mi o to, że chce zrobić to jeszcze samą metodą algebraiczną, bez rysunku.
- Richard del Ferro
- Użytkownik
- Posty: 190
- Rejestracja: 13 mar 2016, o 22:48
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 9 razy
- Pomógł: 16 razy
Re: Równanie kwadratowe z parametrem i wartością bezwzględną
Sorry! Ja w ogóle nie zobaczyłem tego, że maja być dwa ujemne. xD!
Użyj wzorów Vieta!
Dwa ujemne to znaczy iloczyn dodatni suma ujemna.
-- 11 sty 2018, o 23:06 --
\(\displaystyle{ x^2+2x-5m+17=0}\)
\(\displaystyle{ x^2+2x+5m-33=0}\)
\(\displaystyle{ \frac{-2}{2} =1}\)
Suma zawsze ujemna, więc wystarczy aby iloczyn dodatni stąd:
\(\displaystyle{ 17-5m>0}\) \(\displaystyle{ \vee}\) \(\displaystyle{ 5m-33>0}\)
\(\displaystyle{ m< \frac{17}{5}=3 \frac{1}{5}}\) \(\displaystyle{ \vee}\) \(\displaystyle{ m> \frac{33}{5}=6 \frac{3}{5}}\)
Zestaw to z tamtymi warunkami i masz.
Użyj wzorów Vieta!
Dwa ujemne to znaczy iloczyn dodatni suma ujemna.
-- 11 sty 2018, o 23:06 --
\(\displaystyle{ x^2+2x-5m+17=0}\)
\(\displaystyle{ x^2+2x+5m-33=0}\)
\(\displaystyle{ \frac{-2}{2} =1}\)
Suma zawsze ujemna, więc wystarczy aby iloczyn dodatni stąd:
\(\displaystyle{ 17-5m>0}\) \(\displaystyle{ \vee}\) \(\displaystyle{ 5m-33>0}\)
\(\displaystyle{ m< \frac{17}{5}=3 \frac{1}{5}}\) \(\displaystyle{ \vee}\) \(\displaystyle{ m> \frac{33}{5}=6 \frac{3}{5}}\)
Zestaw to z tamtymi warunkami i masz.
Ostatnio zmieniony 11 sty 2018, o 22:11 przez Richard del Ferro, łącznie zmieniany 1 raz.
-
- Użytkownik
- Posty: 273
- Rejestracja: 1 mar 2017, o 23:48
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 80 razy
- Pomógł: 1 raz
Re: Równanie kwadratowe z parametrem i wartością bezwzględną
Czyli na początku mam jeszcze dodać te dwa założenia? I jak to dokładnie zrobić, pod oba przypadki? I potem część wspólna obu?
- Richard del Ferro
- Użytkownik
- Posty: 190
- Rejestracja: 13 mar 2016, o 22:48
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 9 razy
- Pomógł: 16 razy
Re: Równanie kwadratowe z parametrem i wartością bezwzględną
No zauważ, że wartość bezwzględna zakładka, że równanie ma postać \(\displaystyle{ |x|=y}\) , która jest równoznaczna \(\displaystyle{ x=y}\) lub \(\displaystyle{ x=-y}\) .
Wiec dwa osobne przypadki mamy i nie cześć wspólna tylko suma, bo one w ogóle nie maja nic ze sobą do gadania, albo zajdzie pierwszy albo drugi.
W obu muszą być oba ujemne i tyle.
No możesz najpierw, potem, możesz w samym środku. Ja Ci nie będę mówił jak masz zadania robić. xD
Ja na przykład na maturze dziedzinę robiłem po każdym zadaniu, bo nie zapominam wiec nie muszę stosować "kolejności" rozwiązywania. Mój mózg lubi pracować po swojemu.
Wiec dwa osobne przypadki mamy i nie cześć wspólna tylko suma, bo one w ogóle nie maja nic ze sobą do gadania, albo zajdzie pierwszy albo drugi.
W obu muszą być oba ujemne i tyle.
No możesz najpierw, potem, możesz w samym środku. Ja Ci nie będę mówił jak masz zadania robić. xD
Ja na przykład na maturze dziedzinę robiłem po każdym zadaniu, bo nie zapominam wiec nie muszę stosować "kolejności" rozwiązywania. Mój mózg lubi pracować po swojemu.
Ostatnio zmieniony 11 sty 2018, o 22:42 przez SlotaWoj, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Brak polski liter.
Powód: Brak polski liter.