Parametry w funkcji kwadratowej

[Tajemniczy59]

Witam ! mam problem z pewnym zadaniem:

Dla jakich wartości parametru m równanie \(\displaystyle{ 5 x^{2}-mx+1=0}\) ma dwa różne rozwiązania \(\displaystyle{ x_{1} , x _{2}}\) takie, że \(\displaystyle{ \left| x _{1} - x_{2}\right| \ge 1}\)

Deltę wiem jak zrobić, jednak nie wiem jak ten drugi warunek rozpisać, tam pojawi się \(\displaystyle{ -4x_{1}x _{2}}\) ale nie rozumiem tego i nie wiem skąd to się bierze.

Proszę o pomoc.

[Belf]

Korzystamy z:

\(\displaystyle{ |x-y|= \sqrt{(x-y)^2}= \sqrt{(x+y)^2-4xy}}\)

[Tajemniczy59]

A skąd z minusa zrobił się plus i dlaczego tam jest \(\displaystyle{ -4xy}\) ? Tak po prostu, czy jest jakaś zależność albo definicja?

[Belf]

\(\displaystyle{ (x-y)^2=x^2 + y^2-2xy=(x+y)^2-2xy-2xy=(x+y)^2-4xy}\)

[Tajemniczy59]

Dziękuje, trochę mi to pomogło ale jeszcze jednej rzeczy nie rozumiem, mianowicie:

\(\displaystyle{ (x+y) ^{2} - 2xy - 2xy}\) Dlaczego tam się to zdublowało ? Nie widzę tego.

[Belf]

\(\displaystyle{ x^2 + y^2 = (x + y)^2 - 2xy}\)

[Tajemniczy59]

To może pokażę, jak ja to rozpisuję, a ty/Pan mi ocenisz/oceni

czyli tak :
\(\displaystyle{ \left| x _{1} - x _{2} \right| \ge 1\\
( x_{1} - x _{2} )^{2} \ge 1\\
x _{1}^{2} - 2 x_{1} x_{2} + x_{2}^{2} \ge 1\\
( x_{1} + x _{2} )^{2} - 2 x_{1} x _{2} \ge 1}\)

I rozwijam wzór i mi się skraca.

[Belf]

Ostatnia linijka nie jest równoważna przedostatniej.

[Tajemniczy59]

Teraz to już nic nie wiem

[PoweredDragon]

\(\displaystyle{ (x_1+x_2)^2 - 2x_1x_2 = x_1^2 + 2x_1x_2+x_2^2 - 2x_1x_2 = x_1^2 + x_2^2 \neq x_1^2-2x_1x_2 +x_2^2 = x_1^2+2x_1x^2-2x_1x_2+x_2^2 -2x_1x_2 = (x_1+x_2)^2-4x_1x_2}\)

[Tajemniczy59]

Niestety, ale nie rozumiem tego, ale dziękuje za próbę pomocy.

[Jan Kraszewski]

\(\displaystyle{ x _{1}^{2} - 2 x_{1} x_{2} + x_{2}^{2} \ge 1\\
( x_{1} + x _{2} )^{2} - 2 x_{1} x _{2} \ge 1}\)

Popełniłeś jeden błąd:

\(\displaystyle{ ( x_{1} + x _{2} )^{2}\neq x_{1}^2 + x _{2}^{2}}\).

JK

[Tajemniczy59]

Dziękuje bardzo a pomoc, chyba rozumiem .