Matematyka.pl

Rozwiąż równanie z niewiadomą \(\displaystyle{ x}\) i parametrem \(\displaystyle{ m}\).

\(\displaystyle{ x^{2} - (m-1)x - m = 0}\)

Robiłem to na zasadzie obliczania delty i potem kolejnej delty, ale wyszło mi tylko jedno rozwiązanie. Pełna odpowiedź brzmi:
Jeżeli \(\displaystyle{ m = -1}\), to \(\displaystyle{ x = -1}\). Jeżeli \(\displaystyle{ m\in\RR\setminus\{-1\}}\), to \(\displaystyle{ x = -1}\) lub \(\displaystyle{ x =m}\).
Proszę o pomoc

(przykład z Vademecum, Nowej Ery, Teraz matura, matematyka rozszerzona)

\(\displaystyle{ x^{2} - \left( m-1 \right) x - m = 0\\
\left( x- \frac{m-1}{2} \right) ^2- \frac{ \left( m-1 \right) ^2}{4}-m=0\\
\left( x- \frac{m-1}{2} \right) ^2= \frac{ \left( m+1 \right) ^2}{4}\\
\left|x- \frac{m-1}{2} \right| =\left| \frac{m+1}{2}\right|}\)
a) Jedno rozwiązanie dla \(\displaystyle{ m=-1}\) :
\(\displaystyle{ x= -1}\)
b) Dwa rozwiązania dla pozostałych m:
\(\displaystyle{ x_1= \frac{m-1}{2}+ \frac{m+1}{2}=m \vee x_2= \frac{m-1}{2}- \frac{m+1}{2}=-1}\)

EDIT:
A4karo pokazał najprostsze i eleganckie rozwiązanie.

Jest jeszcze jakiś inny sposób na rozwiązanie?

Zapisz równanie w postaci
\(\displaystyle{ (x+1)(x-m)=0}\) i przeanalizuj.

a4karo pisze:

Ukryta treść:    

Zapisz równanie w postaci
\(\displaystyle{ (x+1)(x-m)=0}\) i przeanalizuj.

Ok, udało mi się doprowadzić do takiej postaci. No, ale niezbyt wiele mi to mówi. :/
Widzę, że jeżeli \(\displaystyle{ x=m}\), to będzie \(\displaystyle{ 0=0}\). Czyli niby nieskończenie wiele rozwiązań.
Ale wciąż nie wiem "jak mogę wycisnąć więcej wniosków" z tej postaci.

To równanie ma dwa pierwiastki : -\(\displaystyle{ -1}\) i \(\displaystyle{ m}\). Kiedy te dwa pierwiastki nie są dwoma pierwiastkami?

Kiedy\(\displaystyle{ m = -1}\). Czyli wtedy jest jeden pierwiastek, po prostu \(\displaystyle{ x=-1}\). Jak \(\displaystyle{ m}\) jest inne, to są dwa pierwiastki, \(\displaystyle{ -1}\) i ten drugi równy \(\displaystyle{ m}\).

Dzięki