Matematyka.pl

1. Drut długości 2m podzielono na dwie części: z jednej zbudowano kwadratową ramkę, a z drugiej ramkę prostokątną, w której jeden bok prostokąta ma długość 3 razy większą od długości drugiego boku. Jak należy podzielic drut aby suma pól kwadratu i prostokąta była najmniejsza?

Proszę, pomóżcie...

a - kawałek na kwadrat
b - kawałek na prostokąt
\(\displaystyle{ a+b=2}\)
prostokąt ma wymiary 3c x c, zatem:
\(\displaystyle{ 8c=b \ c=\frac{b}{8}}\)
Chcemy znaleźć minimum funkcji:
\(\displaystyle{ \left(\frac{a}{4}\right)^2+3c^2}\)
Z zależności podanych powyżej:
\(\displaystyle{ \left(\frac{a}{4}\right)^2+3c^2=\frac{1}{16}a^2+3\left(\frac{b}{8}\right)^2=
\frac{1}{16}a^2+\frac{3}{64}b^2= \\ =
\frac{1}{16}a^2+\frac{3}{64}(2-a)^2=\frac{1}{64}(7a^2-12a+12)}\)
Jest to parabola skierowana do góry, zatem osiąga minimum w wierzchołku. Współrzędne wierzchołka paraboli:
\(\displaystyle{ a=\frac{12}{14}=\frac{6}{7}}\)
Zatem szukane \(\displaystyle{ a=\frac{6}{7}, \ b=\frac{8}{7}}\).