Matematyka.pl

Dla jakich wartości parametru \(\displaystyle{ m}\) równanie \(\displaystyle{ x^2-(2m-1)x+m^2-4=0}\) ma dwa różne pierwiastki rzeczywiste mniejsze od 4?

Moje rozwiązanie
kod nieodzyskiwalny

Biorąc iloczyn zbiorów otrzymujemy, że \(\displaystyle{ m \in (- \infty; \frac {17}{4})}\) jednak w odpowiedziach jest \(\displaystyle{ m \in (-\infty ; \frac {17}{4}) \backslash \{4\}.}\)

ten warunek \(\displaystyle{ x_1+x_2<4}\) jest błędny pozostałe dobre
tylko jeszcze współrzędna x paraboli musi być mniejsza od \(\displaystyle{ 4}\)
\(\displaystyle{ -\frac{b}{2a}<4}\)
Ponieważ ramiona tej paraboli są skierowane do góry więc musi zachodzić też warunek
\(\displaystyle{ f(4) > 0}\)

Założenia to:
\(\displaystyle{ \Delta > 0}\)
\(\displaystyle{ (x_{1} - 4)(x_{2} - 4) > 0}\) Jest prawdą gdy oba x są dodatnie lub ujemne
\(\displaystyle{ x_{1} + x_{2} < 4}\) - dodatkowe założenie gdy \(\displaystyle{ x_{1}, x_{2}}\) są dodatnie

po pierwsze błędne założenie co do \(\displaystyle{ x_1+x_2}\) weź chodź pare liczb -5 i 5.. dwa pierwiastki.. ich suma = 0.. a jednak 5>4..

robin5hood pisze:\(\displaystyle{ -\frac{b}{2a}<4}\)

tutaj tego nie można sprowadzać do jednego przypadka..

moim zdaniem należy rozpatrzeć dwa:

\(\displaystyle{ -\frac{b+\sqrt{\Delta}}{2a}\\
-\frac{b-\sqrt{\Delta}}{2a}}\)

tutaj można jedynie zauważyć że \(\displaystyle{ \sqrt{\Delta}>0}\) bo liczymy w \(\displaystyle{ \mathbb{ R }}\)..

więc wystarczy rozpatrzeć przypadek:
\(\displaystyle{ -\frac{b-\sqrt{\Delta}}{2a}}\)

kod częściowo nieodzyskiwalny

mostostalek Twoje założenia są ciężkie do sprawdzenia.

Dalsza część moich:

\(\displaystyle{ (x_{1} - 4)(x_{2} - 4) > 0}\)
\(\displaystyle{ x_{1}x_{2} - 4(x_{1} + x_{2}) + 16 > 0}\)

\(\displaystyle{ x_{1} + x_{2} < 4}\)

Zgadzam się w pełni

[ Dodano: 23 Września 2007, 13:59 ]

Rafal88K pisze:\(\displaystyle{ x_{1}x_{2} - 4(x_{1}x_{2}) + 16 > 0}\)

ale z tym już nie

\(\displaystyle{ x_{1}x_{2} - 4(x_{1}+x_{2}) + 16 > 0}\) tak lepiej

Zauważyłem i poprawiłem, mały błąd przy przekształcaniu

\(\displaystyle{ -\frac{b}{a}-4\frac{c}{a}+16>0}\)

gdzie: a=1, b=2m-1, \(\displaystyle{ c=m^2-4}\)

robin5hood pisze:\(\displaystyle{ (x_{1} - 4)(x_{2} - 4) > 0}\)
wez Rafał \(\displaystyle{ x_1=-1}\) i \(\displaystyle{ x_2=-5}\)

I co? Oba są mniejsze od 4.

[ Dodano: 23 Września 2007, 14:06 ]
mostostalek odwrotnie:
\(\displaystyle{ \frac{c}{a} - 4\frac{-b}{a} + 16 > 0}\)

no tak ale ten warunek co podales to jest to samo co
f(4)>0

lol ale zakręcone to wszystko..

robin który warunek??

\(\displaystyle{ (x_{1} - 4)(x_{2} - 4) > 0}\)
\(\displaystyle{ x_{1}x_{2} - 4(x_{1} + x_{2}) + 16 > 0}\)

\(\displaystyle{ x_{1} + x_{2} < 4}\)
te warunki mozna zastapic jednym który podałem wszesniej czyli
\(\displaystyle{ f(4)>0}\)

hmmm faktycznie:

\(\displaystyle{ \frac{c}{a} - 4\frac{-b}{a} + 16 > 0 \iff f(4)>0}\)

robin5hood pisze:no tak ale ten warunek co podales to jest to samo co
f(4)>0

Nigdzie nie napisałem, ze Twoje założenie jest złe. Tylko podałem swój sposób rozwiązania

tak w ogóle ten warunek \(\displaystyle{ x_{1} + x_{2} < 4}\) jest do niczego:P:P

powinno być \(\displaystyle{ x_{1} + x_{2} < 8}\) a to jest to samo co \(\displaystyle{ -\frac{b}{a}}\)

[ Dodano: 23 Września 2007, 14:31 ]
a rafał tak sie tłumacz.. po co rozwiązywać rozwiązane zadanie?? ja sie przyznaje do błędu

[ Dodano: 23 Września 2007, 14:32 ]
poza tym Twoje rozwiązanie jest błędne biorąc pod uwagę:

\(\displaystyle{ x_{1} + x_{2} < 4}\)

[ Dodano: 23 Września 2007, 14:35 ]

robin5hood pisze:ten warunek \(\displaystyle{ x_1+x_2<4}\) jest błędny pozostałe dobre
tylko jeszcze współrzędna x paraboli musi być miniejsza od 4
\(\displaystyle{ -\frac{b}{2a}<4}\)
Ponieważ ramina tej paraboli są skierowane do góry więc musi zachodzić też warunek
\(\displaystyle{ f(4) > 0}\)

chociaż jak już mamy być dokładni to \(\displaystyle{ x_1+x_2<8 \iff -\frac{b}{2a}<4}\)