Matematyka.pl

1) Niech f bedzie funkcją, ktora kazdej liczbie rzeczywistej m przyporzadkowuje najwieksza wartosc funkcji \(\displaystyle{ g(x)=|x^2+m|}\) w przedziale . Wyznacz najmniejsza wartosc funkcji f.

2) Niech f bedzie funkcją, ktora kazdej liczbie rzeczywistej m przyporzadkowuje najwieksza wartosc funkcji \(\displaystyle{ g(x)=x^2-(m^2-4)x}\) w przedziale . Podaj wzór funkcji f i sporzadz jej wykres.

3) Niech f bedzie funkcją, która każdej liczbie rzeczywistej m przyporzadkowuje liczbe pierwiastków rzeczywistych równania \(\displaystyle{ (x^2-1-m)(|x|-1-m)=0.}\) Sporzadz wykres funkcji f.

PROSZE O POMOC

1)
Szukamy minimum funkcji \(\displaystyle{ g(x)=|x^2+m|}\). Jest to moduł, więc \(\displaystyle{ g(x)\ge 0}\).
Na przedziale \(\displaystyle{ x\in}\) funkcja \(\displaystyle{ g(x)}\) osiąga minimum =0 dla \(\displaystyle{ m=-x^2}\), zatem najmniejszą wartością funkcji \(\displaystyle{ f}\) jest \(\displaystyle{ m=-1}\).

2)
\(\displaystyle{ g(x)=x^2+4-m^2}\) jest parabolą symetrzyczną względem osi y, skierowaną do góry. W związku z tym osiąga maksimum na krańcach przedziału. Ponieważ \(\displaystyle{ x }\) to największą wartością funkcji \(\displaystyle{ g(x)}\) będzie \(\displaystyle{ f(m)=5-m^2}\).

3)
Należy zbadać liczbę pierwiastków równania \(\displaystyle{ (x^2-1-m)(|x|-1-m)=0}\) w zależności od parametru m.
\(\displaystyle{ (x^2-(1+m))(|x|-(1+m))=0}\)
Zarówno moduł \(\displaystyle{ |x|}\), jak i funkcja kwadratowa \(\displaystyle{ x^2}\) przyjmują wartości nieujemne.

Rozważmy przypadek, gdy \(\displaystyle{ m < -1}\). Wtedy:
\(\displaystyle{ (x^2-(1+m))(|x|-(1+m)) = (x^2+\underbrace{(-m-1)}_{>0}))(|x|+\underbrace{(-m-1)}_{>0}) > 0}\)
Zatem dla \(\displaystyle{ m < -1: \ f(m)=0}\).

Gdy \(\displaystyle{ m=-1}\) dostajemy:
\(\displaystyle{ x^2|x|=0 \Rightarrow x=0}\)
A więc \(\displaystyle{ f(-1)=1}\).

Dla \(\displaystyle{ m > -1}\) równanie można przekształcić do postaci:
\(\displaystyle{ (x^2-(1+m))(|x|-(1+m)) = (x-\sqrt{m+1})(x+\sqrt{m+1})(|x|-(1+m))=0}\)
Zatem dla \(\displaystyle{ m > -1: \ f(m)=3}\)

pierwsze źle.
\(\displaystyle{ f(m)=\begin{cases} m+1&dla\ m\in<-1/2;+\infty)\\|m|&dla\ m\in(-\infty;-1/2)\end{cases}}\)
wtedy \(\displaystyle{ \min=\begin{cases} 1/2&dla\ m\in<-1/2;+\infty)\\ nie\ istnieje&dla\ m\in(-\infty;-1/2)\end{cases}}\)
stąd wartość najmniejszą \(\displaystyle{ 1/2}\) funkcja przyjmuje dla \(\displaystyle{ m=-1/2}\)