Matematyka.pl

\(\displaystyle{ \sqrt{5+x}+\sqrt{5-x}=x}\) - wychodzi mi 2 a powinno 4 może ktoś objaśnić gdzie leży mój błąd?

Błąd jest na pewno, wystarczy podstawić 2 do równania .Podnoszę obie strony do kwadratu:
\(\displaystyle{ 5+x+2\sqrt{(5-x)(5+x)}+5-x=x^2 \\ 2\sqrt{(25-x^2)}=x^2-10 \ | \ ()^{2} \\ 100 - 4x^2=x^4-20x^2+100 \\ x^4-16x^2=0 \\ x^2(x^2-16)=0 \\ x^2(x-4)(x+4)=0 \\ x=-4 x=0 x=4}\)

Jako że nie ustalaliśmy dziedziny (metoda analizy starożytnych), więc musimy sprawdzić poprawność rozwiązań przez podstawienie bezpośrednie. Wychodzi, że x=4.

Podnieśmy do kwadratu
\(\displaystyle{ x^{2}=(5+x)+(5-x)+2*(\sqrt{25-x^{2})}\)
\(\displaystyle{ x^{2}-10=2*(\sqrt{25-x^{2})}\)
Znów podnieśmy do kwadratu:
\(\displaystyle{ x^{4}-20x^{2}+100=4*25-4*x^{2}}\)
\(\displaystyle{ x^{4}-16x^{2}=0}\)
\(\displaystyle{ x^{2}(x^{2}-16)=0}\), a ztym już sobie poradzisz

Skoro \(\displaystyle{ x=\sqrt{5+x}+\sqrt{5-x}}\) to:
\(\displaystyle{ \begin{cases} x \in [-5,5]\\x>0\end{cases}}\)
Otrzymujemy stąd,że \(\displaystyle{ x (0,5]}\)

\(\displaystyle{ x=\sqrt{5+x}+\sqrt{5-x} /()^{2} 10+2\sqrt{25-x^{2}}=x^{2}}\)
\(\displaystyle{ 10-x^{2}=-2\sqrt{25-x^{2}} /()^{2} -16x^{2}+x^{4}=0}\)
Otrzymujemy stąd:
\(\displaystyle{ x=0 x=-4 x=4}\)
Ale \(\displaystyle{ x (0,5]}\),zatem x=4

dzieki wszystkim