Matematyka.pl

Jeśli zły dział to przepraszam, nie bylem pewny gdzie wrzucić

zadanie:
Rozwiąż układ równań \(\displaystyle{ \begin{cases} x^{2}+y^{2}-2x-4y+1=0\\|x-1|-y=0\end{cases}}\) i oblicz pole jednego z obszarów ograniczonego wykresami tych równań

W pierwszym równaniu masz okrąg, aby wyznaczyć jego równanie w postaci kanonicznej postępujemy następująco:
\(\displaystyle{ (x-a)^2+(y-b)^2=r^2\\
x^2-2ax+a^2+y^2-2by+b^2-r^2=0}\)
Porównując współczynniki przy odpowiednich potęgach
\(\displaystyle{ -2a=-2 -2b=-4 a^2+b^2-r^2=1\\
a=1 b=2 r=\sqrt{a^2+b^2-1}=\sqrt{1+4-1}=2\\
(x-1)^2+(y-2)=4}\)
Teraz już powinno być łatwo narysować odpowiednie obszary. Aby rozwiązać ten układ równań, możesz wyznaczyć z drugiego y i podstawic do pierwszego, ale przy tym bedzię trochę pracy.

\(\displaystyle{ \begin{cases} x^{2}+y^{2}-2x-4y+1=0\\|x-1|-y=0\end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} (x-1)^{2}+(y-2)^{2}=4\\y=|x-1|\end{cases}}\)

wykres pierwszego równania przedstawia okrąg o środku w punkcie S(1,2), o promieniu r=2
a drugi wartość bezwzględną z x przesuniętą o jedną jednostkę w prawo


Teraz należy zauważyć, że kąt o wierzchołku w punkcie (1,0) jest prosty gdyż jest on kątem opartym na średnicy koła oraz dodatkowo ramiona tego kąta zawarte w kole mają tą samą długość, ponieważ środek koła znajduje się dokładnie nad wierzchołkiem tego kąta.

Teraz łatwo obliczyć pole zacieniowanego obszaru oraz odczytać z wykresu rozwiązania układu równań.