Matematyka.pl

1.Liczby \(\displaystyle{ x_{1}}\) i \(\displaystyle{ x_{2}}\) sa roznymi pierwiastkami rowniania \(\displaystyle{ -x^{2}+ax-a+1=0}\) Znajdz te wartosci parametru a przy ktorym wyrazenia \(\displaystyle{ x_{1}^{2} + x_{2}^{2}}\) ma wartosc najmniejsza


2. Dla jakich wartosci parametru k rownanie \(\displaystyle{ x^{2}+k^{2}+2=2(k+8)x}\) ma dwa rozne rozwiazania dodatnie?

ad 1.
\(\displaystyle{ x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1 x_2 = a^2 - 2 \frac{1-a}{-1} = a^2 - 2a + 2 = (a-1)^2 + 1}\)
Zatem dla a=1 odpowiednie wyr. osiąga wart. najmniejszą.

2.
\(\displaystyle{ x^{2}+k^{2}+2=2(k+8)x\\
x^{2}-(2k+16)x+k^{2}+2=0\\
\begin{cases} a\neq 0\\ \Delta>0\\ x_1>0 \\ x_2>0\end{cases}\ \rightarrow\
\begin{cases} \Delta>0\\ x_1\cdot x_2>0 \\ x_1+x_2>0\end{cases}\ \rightarrow\
\begin{cases} (2k+16)^{2}-4k^{2}-8>0\\ k^{2}+2>0 \\ 2k+16>0\end{cases}\ \rightarrow\
\begin{cases} k>-\frac{31}{8}\\ k\in\mathbb{R} \\ k>-8\end{cases}\\
k\in(-\frac{31}{8};+\infty)\\}\)

Powinno byc OK POZDRO