Trzy proste styczne do paraboli -wyznacz współczynniki

[Nooe]

Oto treść
Proste o równaniach y=-3x-4, y=-x-5, y=x-8 są styczne do paraboli \(\displaystyle{ y=ax^{2}+bx+c}\). Wyznacz:
a) współczynniki a,b,c
b) współrzędne punktów styczności,
c) współrzędne wierzchołka paraboli.


Poprawiłam temat
Lady Tilly

[Lady Tilly]

masz trzy równania
\(\displaystyle{ -3x-4=ax^{2}+bx+c}\)
\(\displaystyle{ -x-5=ax^{2}+bx+c}\)
\(\displaystyle{ x-8=ax^{2}+bx+c}\)
teraz warunkiem jest aby we wszystkich trzech delta była równa zero.

[wb]

\(\displaystyle{ ax^2+bx+c=-3x-4 \\ ax^2+(b+3)x+c+4=0}\)

Prosta styczna i parabola muszą miec jeden punkt wspólny więc:
\(\displaystyle{ \Delta=0 \\ (b+3)^2-4a(c+4)=0}\)

Analogicznie dla pozostałych stycznych:
\(\displaystyle{ ax^2+(b+1)x+c+5=0 \\ (b+1)^2-4a(c+5)=0 \\ \\ \\ ax^2+(b-1)x+c+8=0 \\ (b-1)^2-4a(c+8)=0}\)

Otrzymujemy układ:
\(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l} (b+3)^2-4a(c+4)=0\\ (b+1)^2-4a(c+5)=0 \\ (b-1)^2-4a(c+8)=0 \end{array}}\)
którego rozwiązaniem jest a=1, b=-3, c=-4.

[Nooe]

tak tez probowalem ale zapomnialem o tym ze moze byc tylko 1 punkt styczny.... dziekuwa A:)