Dla jakich wartości parametru m równanie ma dwa rozwiązania

[amelia04]

Dla jakich wartości parametru \(\displaystyle{ m}\) równianie
\(\displaystyle{ 2x^{2}-m\left| x\right|+m-2=0}\)
ma dwa różne rozwiązania?

[ms7]

Po pierwsze cały zapis matematyczny trzeba otagowac guzikiem tex. Oczywiście powinno to wyglądać tak: \(\displaystyle{ 2x^{2}-m\left| x\right|+m-2=0}\)

Co do rozwiązania, to:
najpierw zauważmy, że funkcja jest parzysta.
Proponuje rozbić to na przypadki co do wartości bezwzględnej i 'sterowac' \(\displaystyle{ p}\), \(\displaystyle{ f(p)}\) oraz \(\displaystyle{ f(0)}\) dając na te 3 rzeczy odpowiednie założenia i wyliczając \(\displaystyle{ m}\).
(\(\displaystyle{ p}\) to współrzędna x wierzchołka funkcji po podziale na przypadki).

[Yelon]

\(\displaystyle{ 2x^{2}-m\left| x\right|+m-2=0}\)

Pierwszy przypadek:

1. Liczysz wyróżnik głównego równania: \(\displaystyle{ \Delta = m ^{2}-8m+16}\).
2. Aby były dwa rozwiązania, \(\displaystyle{ \Delta}\) musi być większa od zera.
3. Liczysz wyróznik \(\displaystyle{ \Delta _{m}}\), wynosi on \(\displaystyle{ 0}\), a \(\displaystyle{ m _{0}=4}\).
4. Gdyby nie było modułu, to rozwiązaniem byłyby wszystkie \(\displaystyle{ m \in \mathbb{R} \setminus \left\{ 4\right\}}\), ponieważ, wtedy nasza \(\displaystyle{ \Delta}\) jest większa od zera.

5. Ale w Twojej funkcji jest moduł, co oznacza, że wszystko na prawo od osi \(\displaystyle{ OY}\) odbijasz względem osi \(\displaystyle{ OY}\), to co było po lewej stronie osi - znika. Zatem licząc z odbiciami nasza wyjściowa funkcja miałaby 4 miejsa zerowe.
Tak więc dla \(\displaystyle{ m=4}\) ma dwa miejsca zerowe.

Teraz inna sytuacja. Zauważ, że dostaniemy to co chcemy również, gdy nasze wyjściowe równanie będzie miało dwa miejsca zerowe, ale jedno z nich będzie ujemne (bo w tedy jak to odbijesz, to część po lewej stronie osi \(\displaystyle{ OY}\) zniknie, odbijesz prawą stronę, i masz dwa miejsca zerowe).

Więc chcemy aby \(\displaystyle{ x _{1}x _{2} < 0 \rightarrow \frac{c}{a}<0}\) (wzory Viete'a) a więc:

\(\displaystyle{ m<2}\). I to jest odpowiedź.

\(\displaystyle{ m < 2 \vee m=4}\).

[K4rol]

sory za odświeżenie, ale nurtuje mnie rozwiązanie w pełni analityczne tego przykładu (chodzi o sprawdzenie wszystkich warunkow)

\(\displaystyle{ 2x^2-m|x|+m-2=0}\)

\(\displaystyle{ |x|=\begin{cases} x\ \ \ \ \ \ \ \ x \ge 0 \\ -x\ \ \ \ \ x<0 \end{cases}}\)

\(\displaystyle{ 1.\ x \in (- \infty ;0)}\)
\(\displaystyle{ 2x^{2}+mx+m-2=0}\)

\(\displaystyle{ 1a.}\)
\(\displaystyle{ \Delta=0}\)
\(\displaystyle{ x_{0}<0}\)

\(\displaystyle{ 1b.}\)
\(\displaystyle{ \Delta>0}\)
\(\displaystyle{ x_{1}+x_{2}<0}\)
\(\displaystyle{ x_{1} \cdot x_{2}>0}\)


\(\displaystyle{ 2.\ x \in <0;+ \infty )}\)
\(\displaystyle{ 2x^{2}-mx+m-2=0}\)

\(\displaystyle{ 2a.}\)
\(\displaystyle{ \Delta=0}\)
\(\displaystyle{ x_{0}>0}\)

\(\displaystyle{ 2b.}\)
\(\displaystyle{ \Delta>0}\)
\(\displaystyle{ x_{1}+x_{2}>0}\)
\(\displaystyle{ x_{1} \cdot x_{2}>0}\)

czy to aby wszystkie warunki?

[JHN]

...czy to aby wszystkie warunki?

Niekoniecznie... i nie do końca poprawne

Jeśli już idziesz w stronę wzorów Viete'a, to:

\(\displaystyle{ 2|x|^{2}+m|x|+m-2=0\ \ \ (i)}\)

Niech \(\displaystyle{ |x|=t\wedge t\ge 0}\), wtedy

\(\displaystyle{ 2t^{2}+mt+m-2=0\ \ \ (ii)}\)

Aby równanie \(\displaystyle{ (i)}\) miało dwa rozwiązania, równanie \(\displaystyle{ (ii)}\) musi mieć jedno dodatnie rozwiązanie, a ewentualne drugie - ujemne; czyli

\(\displaystyle{ \begin{cases} \Delta=0\\ t_{0}>0\end{cases} \vee \begin{cases} \Delta>0\\ t_{1} \cdot t_{2}<0\end{cases}}\)

Pozdrawiam

[edited] poprawka redakcyjna

[K4rol]

a jest sens robić to bez podstawiania? czy to zbyt skomplikowane

jakas alternatywa dla wzorów vieta?

[JHN]

a jest sens robić to bez podstawiania? czy to zbyt skomplikowane

Wg mnie - nie, proponowane w wątku schematy są ogólne!
Nie zwróciłeś uwagi np. w swoim rozwiązaniu, ze rozpatrywane przez Ciebie przypadki są alternatywna, czyli mnogości pierwiastków ujemnych i dodatnich się dodają!

jakas alternatywa dla wzorów vieta?

W tym konkretnym zadaniu - jest:

\(\displaystyle{ 2x^{2}-m\left| x\right|+m-2=0}\)
\(\displaystyle{ 2x^2-2-m|x|+m=0}\)
\(\displaystyle{ 2(|x|^2-1)-m(|x|-1)=0}\)
\(\displaystyle{ (|x|-1)\left[2(|x|+1)-m\right]=0}\)
\(\displaystyle{ |x|=1\vee |x|=\frac{m-2}{2}}\)
Ponieważ pierwsze równanie ma dwa rozwiązania, to drugie ich mieć nie może lub mieć takie same...
\(\displaystyle{ \frac{m-2}{2}<0 \vee \frac{m-2}{2}=1}\)

Pozdrawiam

[edited] teraz zauważyłem:

\(\displaystyle{ 2|x|^{2}+m|x|+m-2=0\ \ \ (i)}\)

\(\displaystyle{ 2t^{2}+mt+m-2=0\ \ \ (ii)}\)

A powinno być
\(\displaystyle{ 2|x|^{2}-m|x|+m-2=0\ \ \ (i)}\)

\(\displaystyle{ 2t^{2}-mt+m-2=0\ \ \ (ii)}\)

[K4rol]

1. wracając do metody ze wzorami vieta i podstawieniem t=|x| moje pytanie brzmi - jak wpaść na warunek c/a<0? czy chodzi tylko o to ze jeżeli mam we worze na funkcje |x| to wykres ZAWSZE będzie symetryczny względem odi Y?

2. jak wpaść na to że dla m=2 są 3 rozwiązania? interesuje mnie analityczna metoda

[JHN]

1. wracając do metody ze wzorami vieta i podstawieniem t=|x| moje pytanie brzmi - jak wpaść na warunek c/a<0?

Aby równanie \(\displaystyle{ (i)}\) miało dwa rozwiązania, równanie \(\displaystyle{ (ii)}\) musi mieć jedno dodatnie rozwiązanie, a ewentualne drugie - ujemne

a iloczyn dwóch liczb różnych znaków zawsze jest ujemny

...czy chodzi tylko o to ze jeżeli mam we worze na funkcje |x| to wykres ZAWSZE będzie symetryczny względem odi Y?

Funkcja \(\displaystyle{ f(x)=|x|(x-2) \wedge D=\RR}\) takiej własności nie ma!, bo nie jest parzysta

2. jak wpaść na to że dla m=2 są 3 rozwiązania? interesuje mnie analityczna metoda

Warunkiem koniecznym, aby funkcja parzysta miała nieparzystą liczbę miejsc zerowych jest \(\displaystyle{ f(0)=0}\)
W tym zadaniu \(\displaystyle{ c=0\iff m=2}\),
wstawiamy do równania i sprawdzamy, czy jest jedno czy trzy rozwiązania...

Pozdrawiam

[janusz47]

Dla \(\displaystyle{ m = 0 }\) równanie ma dwa różne rozwiązania rzeczywiste \(\displaystyle{ x \in \{-1, 1\}. }\)

Sprowadzamy równanie kwadratowe do postaci kanonicznej

\(\displaystyle{ 2\left( |x| - \frac{m}{4}\right)^2 - \frac{m^2 -8m + 16}{8} = 0 }\)

\(\displaystyle{ 2\left( |x| - \frac{m}{4}\right)^2 - \frac{(m - 4)^2}{8} = 0 }\)

Z postaci tej wynika, że równanie będzie miało dwa różne rozwiązania rzeczywiste, gdy ...