równanie kwadratowe (pochodne)

Zagadnienia dot. funkcji kwadratowej. RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI kwadratowe i pierwiastkowe. Układy równań stopnia 2.
Matix16
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 45
Rejestracja: 20 wrz 2012, o 17:25
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 8 razy

równanie kwadratowe (pochodne)

Post autor: Matix16 » 29 mar 2015, o 17:23

Proszę o wyliczenie krok po kroku
Równanie kwadratowe \(\displaystyle{ kx^2-(k^2+4)x+1=0}\) ma dwa różne pierwiastki.Znajdż tę wartość parametru k , dla której suma pierwiastków danego równania jest najmniejsza oraz tę wartość parametru k, dla której suma pierwiastków tego równania jest największa.Dla znalezionych wartości parametru oblicz sumę pierwiastków równania.
Nie wiem co robię żle ale najmniejsza wychodzi mi dla k=2 a największa dla k=-2 (powinno być na odwrót)

Awatar użytkownika
Igor V
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1605
Rejestracja: 16 lut 2011, o 16:48
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 18 razy
Pomógł: 604 razy

równanie kwadratowe (pochodne)

Post autor: Igor V » 29 mar 2015, o 17:38

Dobrze by było jakbyś napisał swoje rozwiązanie ,ale strzelam że źle narysowałeś wykres pochodnej np:zapomniałeś że jak się wyciągnie to stoi tam minus.I zacząłeś od złej strony rysować.

Matix16
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 45
Rejestracja: 20 wrz 2012, o 17:25
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 8 razy

równanie kwadratowe (pochodne)

Post autor: Matix16 » 29 mar 2015, o 18:18

Pochodna wychodzi mi taka: \(\displaystyle{ f '(x)=(k^2-4)/k^2}\) i wykres ma ramiona skierowane do góry.
Ostatnio zmieniony 29 mar 2015, o 18:29 przez Matix16, łącznie zmieniany 1 raz.

szachimat
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1674
Rejestracja: 23 sty 2015, o 21:47
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: lubelskie
Podziękował: 6 razy
Pomógł: 354 razy

równanie kwadratowe (pochodne)

Post autor: szachimat » 29 mar 2015, o 18:27

A czemu na dole jest "2" ?

Awatar użytkownika
Igor V
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1605
Rejestracja: 16 lut 2011, o 16:48
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 18 razy
Pomógł: 604 razy

równanie kwadratowe (pochodne)

Post autor: Igor V » 29 mar 2015, o 18:31

Powinno być w mianowniku \(\displaystyle{ k^2}\) ,ale nawet z tym (policzyłem przed chwilą) wychodzi mi że faktycznie jest w -2 maksimum a w 2 minimum.

Matix16
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 45
Rejestracja: 20 wrz 2012, o 17:25
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 8 razy

równanie kwadratowe (pochodne)

Post autor: Matix16 » 29 mar 2015, o 18:34

Czyli pewnie w odpowiedziach jest błąd.Dziękuję.

Awatar użytkownika
Igor V
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1605
Rejestracja: 16 lut 2011, o 16:48
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 18 razy
Pomógł: 604 razy

równanie kwadratowe (pochodne)

Post autor: Igor V » 29 mar 2015, o 18:35

Pewnie tak.Oczywiście z "tym" ,miałem na myśli z \(\displaystyle{ k^2}\)

szachimat
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1674
Rejestracja: 23 sty 2015, o 21:47
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: lubelskie
Podziękował: 6 razy
Pomógł: 354 razy

równanie kwadratowe (pochodne)

Post autor: szachimat » 29 mar 2015, o 18:41

Na odwrót byłoby wtedy, gdyby przed \(\displaystyle{ (k^2+4)x}\) zamiast minusa był plus. Jeżeli nie popełniłeś błędu przy przepisywaniu, to Twój wynik jest dobry.

VanHezz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 245
Rejestracja: 22 wrz 2012, o 11:20
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Międzyrzecz
Podziękował: 34 razy

Re: równanie kwadratowe (pochodne)

Post autor: VanHezz » 17 sty 2022, o 13:02

Natomiast mnie się wydaje, że to zadanie nie ma rozwiązania.

Funkcja sumy tych pierwiastków to \(\displaystyle{ f(k)= \frac{k ^{2}+4 }{k}}\) i licząc pochodną, rzeczywiści wychodzi, że maksimum lokalne jest dla \(\displaystyle{ k=-2, (f(-2)=-4)}\) i że minimum lokalne jest dla \(\displaystyle{ k=2, (f(2)=4)}\). I w odpowiedziach właśnie tak jest, że ta suma pierwiastków jest najmniejsza w maksimum lokalnym, a największa w minimum lokalnym.

Ale przecież, gdy spojrzymy na wykres ten funkcji to zbiór jej wartości to \(\displaystyle{ \RR \setminus\left\{ 0\right\} }\) dla dziedziny \(\displaystyle{ k \in \RR \setminus \left\{ 0\right\} }\)

Dziwne zadanie.
Ostatnio zmieniony 17 sty 2022, o 13:11 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.

Awatar użytkownika
Dasio11
Moderator
Moderator
Posty: 9768
Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 38 razy
Pomógł: 2202 razy

Re: równanie kwadratowe (pochodne)

Post autor: Dasio11 » 17 sty 2022, o 14:43

Zbiór wartości tej funkcji to nie \(\displaystyle{ \RR \setminus \{ 0 \}}\), natomiast zadanie istotnie jest sknocone.

a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 20204
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 23 razy
Pomógł: 3429 razy

Re: równanie kwadratowe (pochodne)

Post autor: a4karo » 18 sty 2022, o 12:54

Próby rozwiązań przedstawione powyżej maja jeden brak: nikt nie sprawdził, czy dla wszystkich `k` równanie ma dwa pierwiastki.

Poza tym zadanie jest jak najbardziej OK, natomiast odpowiedzi (zarówno w książce jak i tutaj) są niepoprawne.

Suma pierwiastków dana jest wzorem `(k^2+4)/k` i jak łatwo widać dąży do nieskończoności gdy `k` dąży do nieskończoności lub do zera z prawej strony. Stąd wniosek, że suma pierwiastków nie ma największej wartości.

Podobnie dla `k` dążącego do minus nieskończoności lub do zera z lewej, suma pierwiastków dąży do minus nieskończoności, zatem nie ma również wartości najmniejszej,

Awatar użytkownika
Dasio11
Moderator
Moderator
Posty: 9768
Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 38 razy
Pomógł: 2202 razy

Re: równanie kwadratowe (pochodne)

Post autor: Dasio11 » 18 sty 2022, o 15:23

a4karo pisze:
18 sty 2022, o 12:54
Stąd wniosek, że suma pierwiastków nie ma największej wartości.
[...]
nie ma również wartości najmniejszej,
Skoro więc polecenie każe "znaleźć \(\displaystyle{ k}\), dla którego wartość jest najmniejsza/największa" - a nie rozstrzygnąć, czy takie \(\displaystyle{ k}\) istnieje - to ja pozostaję przy zdaniu, że zadanie jest źle sformułowane.

a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 20204
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 23 razy
Pomógł: 3429 razy

Re: równanie kwadratowe (pochodne)

Post autor: a4karo » 18 sty 2022, o 17:30

No niby tak, ale w ten sposób zawstydziłeś poszukiwaczy kamienia filozoficznego...

Inna sprawa, że takie źle sformułowane zadania są dużo bardziej pouczające niż te sztampowe. Pewnie niewielu nauczycieli podejmie się głębszej analizy . W szczególności mało który zwróci uwagę na to, że rozwiązanie nie kończy się na znalezieniu miejsc zerowych pochodnej.

ODPOWIEDZ