Udowodnić, że równanie ma pierwiastki rzeczywiste.

Zagadnienia dot. funkcji kwadratowej. RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI kwadratowe i pierwiastkowe. Układy równań stopnia 2.
Grzyboo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 65
Rejestracja: 11 lis 2013, o 18:50
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 28 razy

Udowodnić, że równanie ma pierwiastki rzeczywiste.

Post autor: Grzyboo »

Zadanie 228, Kiełbasa:
Uzasadnić, że jeżeli równanie \(\displaystyle{ x^2 + px + q}\) ma pierwiastki rzeczywiste, to równanie \(\displaystyle{ x^2 + p(a + \frac{1}{a}) + q(a - \frac{1}{a})^2}\), gdzie p, q, a są liczbami rzeczywistymi, ma też pierwiastki rzeczywiste.

1. Równanie ma pierwiastki rzeczywiste, czyli \(\displaystyle{ \Delta > 0}\)
\(\displaystyle{ p^2 - 4q > 0}\)

2. Drugie równanie, to samo. Po przeróżnych zabiegach; wymnożeniu, wyłączeniu czynnika itd. zostaje mi:
\(\displaystyle{ (p^2 - 4q)(a^2 + \frac{1}{a^2}) + 2(p^2 + 4q) > 0}\)

Bez wątpienia
\(\displaystyle{ (p^2 - 4q)(a^2 + \frac{1}{a^2})}\)
jest dodatnie, co jednak z tą resztą?
piasek101
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 23493
Rejestracja: 8 kwie 2008, o 22:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: piaski
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 3263 razy

Udowodnić, że równanie ma pierwiastki rzeczywiste.

Post autor: piasek101 »

\(\displaystyle{ a^2+\frac{1}{a^2}\geq 2}\)
Nexus420
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 30
Rejestracja: 17 mar 2014, o 21:23
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Sopot

Udowodnić, że równanie ma pierwiastki rzeczywiste.

Post autor: Nexus420 »

Odkopuję ten temat, ponieważ mam pytanie do tego zadania.
Czy można rozwiązać je w taki sposób:

O \(\displaystyle{ x^{2}+px+q=0}\) wiemy, że ma pierwiastki (czyli dwa) rzeczywiste, więc:
\(\displaystyle{ p^{2}-4q > 0}\), czyli \(\displaystyle{ p^{2}>4q}\)

Potem do drugiego równiania delta ma być większa od zero, więc mamy nierówność:
\(\displaystyle{ p^2(a + \frac{1}{a})^2 - 4q(a - \frac{1}{a})^2>0}\)
czyli:
\(\displaystyle{ p^2(a + \frac{1}{a})^2>4q(a - \frac{1}{a})^2}\)

Z pierwszego równiania wiemy, że \(\displaystyle{ p^{2}>4q}\) oraz łatwo udowodnić, że
\(\displaystyle{ (a + \frac{1}{a})^2>(a - \frac{1}{a})^2}\)

w wyrażeniu \(\displaystyle{ 4q(a - \frac{1}{a})^2}\) nigdy nie będzie sytuacji, że będziemy mnożyć liczbę ujemną przez ujemną, ponieważ \(\displaystyle{ (a - \frac{1}{a})^2}\) jest zawsze dodatnie.
Czyli \(\displaystyle{ p^2(a + \frac{1}{a})^2>4q(a - \frac{1}{a})^2}\) musi być zawsze prawdziwe

Nie jestem jakiś dobry z matematyki, więc jak coś jest źle to proszę nie krzyczeć, tylko sympatycznie wyjaśnić.
TheBill
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2372
Rejestracja: 25 paź 2009, o 11:41
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 11 razy
Pomógł: 245 razy

Udowodnić, że równanie ma pierwiastki rzeczywiste.

Post autor: TheBill »

Wg mnie jest poprawnie.
DamianSc
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 12
Rejestracja: 27 sty 2020, o 11:40
Płeć: Mężczyzna
wiek: 23
Podziękował: 4 razy

Udowodnić, że równanie ma pierwiastki rzeczywiste.

Post autor: DamianSc »

Pozwolę sobie również odkopać, bo zrobiłem trochę inaczej i choć wydaje mi się, że jest dobrze, to chciałbym się upewnić. Doszedłem do takiej samej postaci jak w rozwiązaniu powyżej czyli:
\(\displaystyle{ p^2(a+\frac{1}{a})^2 - 4q(a-\frac{1}{a})^2 > 0}\) i dalej przekształcając równoważnie:
\(\displaystyle{ p^2(a-\frac{1}{a})^2 + 4p^2 - 4q(a-\frac{1}{a})^2 > 0}\)
\(\displaystyle{ (a-\frac{1}{a})^2(p^2-4q) + 4p^2 > 0}\)
Wiemy, że \(\displaystyle{ p^2-4q > 0}\), a \(\displaystyle{ (a-\frac{1}{a})^2}\) i \(\displaystyle{ 4p^2}\) są również zawsze dodatnie, więc całe wyrażenie także musi być dodatnie.
Zgadza się? Jeśli tak, to czy któreś rozwiązanie jest lepsze? Czy (patrząc pod kątem matury rozszerzonej) muszę tłumaczyć w jaki sposób przeszedłem z pierwszej nierówności do drugiej lub rozbić to jeszcze, rozpisując w osobnych dwóch krokach?
piasek101
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 23493
Rejestracja: 8 kwie 2008, o 22:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: piaski
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 3263 razy

Re: Udowodnić, że równanie ma pierwiastki rzeczywiste.

Post autor: piasek101 »

Jest ok. Mały szczegół \(\displaystyle{ p}\) może być zerem więc \(\displaystyle{ 4p^2}\) nie zawsze jest dodatnie.

Jeśli rozwiązania są dobre to ciężko ustalać, które jest lepsze (szczególnie tu).
Nic nie musisz tłumaczyć - może być tak jak jest.
DamianSc
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 12
Rejestracja: 27 sty 2020, o 11:40
Płeć: Mężczyzna
wiek: 23
Podziękował: 4 razy

Re: Udowodnić, że równanie ma pierwiastki rzeczywiste.

Post autor: DamianSc »

Dzięki. Z tym \(\displaystyle{ 4p^2}\) oczywiście racja, a czy za takie stwierdzenie, które jest błędne, ale nie zmienia nic w rozwiązaniu, odejmują punkty?
piasek101
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 23493
Rejestracja: 8 kwie 2008, o 22:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: piaski
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 3263 razy

Re: Udowodnić, że równanie ma pierwiastki rzeczywiste.

Post autor: piasek101 »

W tym wypadku raczej (bo pewien nie jestem) nie.
VanHezz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 245
Rejestracja: 22 wrz 2012, o 11:20
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Międzyrzecz
Podziękował: 34 razy

Re: Udowodnić, że równanie ma pierwiastki rzeczywiste.

Post autor: VanHezz »

A mi w tym zadaniu coś nie pasuje.

Weźmy dla przykładu \(\displaystyle{ a=1}\), \(\displaystyle{ p=0}\) i \(\displaystyle{ q=-4}\). Wówczas równanie z założenia ma dwa pierwiastki, ale równanie z tezy ma tylko jeden pierwiastek. Wprawdzie podwójny, ale jeden. Chyba że autorom zadania chodziło o uwzględnienie właśnie też takiego przypadku. Wówczas trzeba by w trakcie zadania stosować nierówność nieostrą.
Z drugiej strony w treści wyraźnie jest napisane "pierwiastki", więc raczej w domyśle różne. Przynajmniej w takim znaczeniu Kiełbasa używał liczby mnogiej w poprzednich zadaniach.
Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 34123
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 5192 razy

Re: Udowodnić, że równanie ma pierwiastki rzeczywiste.

Post autor: Jan Kraszewski »

VanHezz pisze: 11 paź 2021, o 00:43Z drugiej strony w treści wyraźnie jest napisane "pierwiastki", więc raczej w domyśle różne.
To zależy. W odniesieniu do kwantyfikatora egzystencjalnego liczba mnoga może być myląca. Dla mnie stwierdzenie "ma pierwiastki rzeczywiste" jest negacją stwierdzenia "nie ma pierwiastków rzeczywistych" i oznacza tylko istnienie pierwiastka rzeczywistego.

Zatem istotnie powinno używać się nierówności nieostrych.

JK
ODPOWIEDZ