Równanie kwadratowe - parametr

[gregorn97]

2.260(rozszerzony zbiór zadań dla liceum i technikum - klasa II)
Dla jakich wartości parametru m rozwiązania x1, x2 równania
\(\displaystyle{ 2x ^{2} -2(2m+1)x+m(m-1)=0}\)
spełniają warunek \(\displaystyle{ x _{1} <m<x _{2}}\)

Proszę o pomoc w rozwiązaniu wyżej wymienionego zadania. Kombinuję na wszelkie sposoby, ale wynik nie chce wyjść.
Roziązanie:\(\displaystyle{ m \in\left( -\infty;-3\right) \cup \left( 0;+\infty\right)}\)

[LipaMat]

Nie jestem pewny tego, bo tylko na to zadanie spojrzałem i nie rozwiązałem, ale pomyśl nad tym, że wyliczasz deltę i masz odpowiedni wzór na \(\displaystyle{ x_{1}}\) oraz \(\displaystyle{ x_{2}}\) i masz dwie nierówności.

[Chewbacca97]

Parabola ma ramiona skierowane w górę (ze względu na dodatnie \(\displaystyle{ a=2}\)). Przecina również oś \(\displaystyle{ OX}\) w dwóch miejscach, ponieważ ma dwa miejsca zerowe: \(\displaystyle{ x_{1}}\) i \(\displaystyle{ x_{2}}\). Ciebie interesuje takie \(\displaystyle{ m}\), żeby spełniony był warunek \(\displaystyle{ x _{1} <m<x _{2}}\). Rysujesz więc wykres (rysunek poglądowy) i miejsca gdzie wykres przetnie oś \(\displaystyle{ OX}\) oznaczasz jako \(\displaystyle{ x_{1}}\) i \(\displaystyle{ x_{2}}\). Zaznaczasz \(\displaystyle{ m}\) tak, aby znajdował się on pomiędzy \(\displaystyle{ x_{1}}\) i \(\displaystyle{ x_{2}}\) (spełniony będzie wtedy warunek dany w zadaniu). Co zauważyłeś? Jakie warunki wypisałeś?

Ukryta treść:    

\(\displaystyle{ \begin {cases} \Delta > 0 \\ f(m)<0 \end {cases}}\)

[Dilectus]

Popatrzmy na to równanie:

1. \(\displaystyle{ 2x ^{2} -2(2m+1)x+m(m-1)=0}\)

Liczysz deltę. Musi być ona większa od zera, żeby istniały dwa pierwiastki.

\(\displaystyle{ \Delta= 4\left( 2m+1\right)^2-8m\left( m-1\right)>0}\)

\(\displaystyle{ \Delta >0 \Leftrightarrow m \in \left( - \infty , \ \frac{-3- \sqrt{7} }{2} \right) \cup \left( \frac{-3+ \sqrt{7} }{2}, \ \infty \right)}\)

Pierwiastki tównania 1.:
\(\displaystyle{ x _{1}= \frac{2\left( 2m+1\right)- \sqrt{4\left( 2m+1\right)^2-8m\left( m-1\right)} }{4}= \frac{2m+1- \sqrt{2m^2+6m+1} }{2}}\)

\(\displaystyle{ x _{2}= \frac{2\left( 2m+1\right)+ \sqrt{4\left( 2m+1\right)^2-8m\left( m-1\right)} }{4}=\frac{2m+1+ \sqrt{2m^2+6m+1} }{2}}\)

Ma być przy tym spełniony warunek

\(\displaystyle{ x _{1} <m<x _{2}}\)

A zatem trzeba rozwiązać nierówności

\(\displaystyle{ \frac{2m+1- \sqrt{2m^2+6m+1} }{2}<m<\frac{2m+1+ \sqrt{2m^2+6m+1} }{2}}\)

\(\displaystyle{ 2m+1- \sqrt{2m^2+6m+1}<2m<2m+1+ \sqrt{2m^2+6m+1}}\)

Prawa nierówność spełniona jest zawsze. Popatrzmy na lewą:

\(\displaystyle{ 2m+1- \sqrt{2m^2+6m+1}<2m \Leftrightarrow 1- \sqrt{2m^2+6m+1}<0 \Leftrightarrow \\ \Leftrightarrow \sqrt{2m^2+6m+1}>1}\)

Rozwiąż więc nierówność

\(\displaystyle{ \sqrt{2m^2+6m+1}>1}\)

pamiętając, że

\(\displaystyle{ m \in \left( - \infty , \ \frac{-3- \sqrt{7} }{2} \right) \cup \left( \frac{-3+ \sqrt{7} }{2}, \ \infty \right)}\)

Dla ułatwienia dodam, że rozwiązanie jest takie, jak podałeś, tzn.

Roziązanie: \(\displaystyle{ m \in\left( -\infty;-3\right) \cup \left( 0;+\infty\right)}\)

.

[pyzol]

Dilectus, a spróbuj to zrobić takim sposobem jak Chewbacca97, i zobacz ile tym razem zajmie miejsca.

[gregorn97]

Bardzo dziękuje za wyczerpujące odpowiedzi.
Dilectus dzięki za rozpisanie, tym sposobem na początku popełniłem błąd i się dziwiłem dlaczego nie chce prawidłowy wynik wyjść.
Chewbacca97 ciekawy sposób, nie powiem. Krótszy i łatwy do zrozumienia jak już się zapisze.

[pyzol]

Z tym krótszym sposobem należy się zastanowić, czy to są wystarczające warunki.
I tak dla przykładu.
Dla jakich wartości parametru \(\displaystyle{ m}\), miejsca zerowe funkcji \(\displaystyle{ y=x^2+2mx+4m+2}\) należą do przedziału \(\displaystyle{ (2;4)}\).
Tutaj rysując odręcznie tą funkcję otrzymamy:
\(\displaystyle{ \psset{xunit=1.0cm,yunit=1.0cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(1,-1)(5,3)
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=1,Dy=1,ticksize=-2pt 0,subticks=2]{->}(0,0)(1,-1)(5,3)
\rput{0}(3,-0.25){\psplot{-3}{3}{x^2/2/0.5}}
\end{pspicture*}}\)

Z tego również możemy stwierdzić, że \(\displaystyle{ \Delta \ge 0,f(2)>0,f(4)>0}\). Pytanie jest takie, czy są inne funkcje które spełnią ten warunek, a miejsca zerowe nie będą należeć do naszego przedziału. Takim przykładem jest funkcja \(\displaystyle{ y=(x-5)(x-6)}\). Będzie on spełniać te założenia, jednak miejsca zerowe nie będą należeć do danego przedziału.

\(\displaystyle{ \pagestyle{empty}
\begin{document}
\psset{xunit=1.0cm,yunit=1.0cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(1,-1)(7,3)
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=1,Dy=1,ticksize=-2pt 0,subticks=2]{->}(0,0)(1,-1)(7,3)
\rput{0}(5.5,-0.25){\psplot{-3}{3}{x^2/2/0.5}}
\end{pspicture*}
\end{document}}\)
W tym wypadku należy dodać warunek \(\displaystyle{ 2<p=x_w<4}\).

Twoje zadanie możemy również rozwiązać ze wzorów Viete'a.
Ponieważ \(\displaystyle{ m}\) jest pomiędzy naszymi pierwiastkami, to:
\(\displaystyle{ (x_1-m)(x_2-m)<0}\) (jedno z tych wyrażeń musi być większe od zera, a drugie mniejsze)
Rozpisując to mamy:
\(\displaystyle{ x_1x_2-m(x_1+x_2)+m^2<0\\
\frac{c}{a}-m\cdot \frac{-b}{a}+m^2<0}\)

[Chewbacca97]

pyzol, bardzo dobrze, że pokazałeś przykład gdzie faktycznie bez wzięcia pod uwagę \(\displaystyle{ x_{w}}\) może być niewesoło. Jednak wydaje mi się, że w zadaniu kolegi gregorn97 warunki podane przeze mnie wystarczą. (prawda?) Z racji tego, że \(\displaystyle{ m}\) ma być pomiędzy \(\displaystyle{ x_{1}}\) i \(\displaystyle{ x_{2}}\).

[pyzol]

Wystarczą.

[p2310]

I warunek \(\displaystyle{ \Delta>0}\)
I warunek \(\displaystyle{ \Delta>0}\) aby były dwa pierwiastki
\(\displaystyle{ \Delta=[-2(2m+1)]^{2}-4*2*m(m-1)=4(4m^{2}+4m+1)-8m^{2}+8m=16m^{2}+16m+4-8m^{2}+8m=8m^{2}+24m+4}\)
\(\displaystyle{ 8m^{2}+24m+4>0}\)
\(\displaystyle{ 2m^{2}+6m+1>0}\)
\(\displaystyle{ \Delta_{m}=6^{2}-4*2*1=28}\)
\(\displaystyle{ m_{1}= \frac{-6-2 \sqrt{7} }{4}}\)\(\displaystyle{ \approx -2,82}\)
\(\displaystyle{ m_{2}= \frac{-6+2 \sqrt{7} }{4}}\)\(\displaystyle{ \approx -0,17}\)
otrzymujemy
\(\displaystyle{ m \in (-\infty; \frac{-3- \sqrt{7} }{2}) \vee ( \frac{-3+ \sqrt{7} }{2};+\infty)}\)
i teraz ciekawszy II Warunek
\(\displaystyle{ f(m)<0}\) aby \(\displaystyle{ x_{1}<m<x_{2}}\)
\(\displaystyle{ f(m)=2m^{2}-2(2m+1)*m+m*(m-1)=-m^{2}-3m}\)
\(\displaystyle{ -m^{2}-3m<0}\)
\(\displaystyle{ m(m+3)>0}\)
zatem ostatecznie
\(\displaystyle{ m \in (-\infty;-3) \vee (0;+\infty)}\)

[poetaopole]

f(m)<0, gdzie f(x) jest lewą strona równania. KONIEC