Rozwiązania równania kwadratowego i dwukwadratowego

Zagadnienia dot. funkcji kwadratowej. RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI kwadratowe i pierwiastkowe. Układy równań stopnia 2.
Awatar użytkownika
mortan517
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3360
Rejestracja: 6 lis 2011, o 15:38
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Krk
Podziękował: 112 razy
Pomógł: 662 razy

Rozwiązania równania kwadratowego i dwukwadratowego

Post autor: mortan517 » 26 gru 2013, o 10:34

Rozwiązania równania kwadratowego i dwukwadratowego


Na forum powstaje coraz więcej tematów związanych z tymi zagdanieniami. Postanowiłem opisać ten problem (dla niektórych banalny, a dla innych wręcz przeciwnie), żeby wszyscy użytkownicy mogli na spokojnie zajrzeć tu, aby rozwiać wszelkie wątpliwości. W tym temacie zawrę równanie kwadratowe oraz jeden z prostszych przykładów równania czwartego stopnia, a mianowicie równanie dwukwadratowe.

Równanie kwadratowe

Równanie kwadratowe możemy wyrazić za pomocą wzoru ogólnego \(\displaystyle{ ax^2+bx+c=0}\). Ilość rozwiązań takiego równania zależy od wyróżnika równania kwadratowego \(\displaystyle{ \Delta}\). Rozpatrując ten problem musimy także zwrócić uwagę na przypadek liniowy.



Dla \(\displaystyle{ a \neq 0}\) równanie posiada następującą ilość pierwiastków:
\(\displaystyle{ 2}\) pierwiastki, gdy \(\displaystyle{ \Delta >0}\)
\(\displaystyle{ 1}\) pierwiastek, gdy \(\displaystyle{ \Delta =0}\)
\(\displaystyle{ 0}\) pierwiastków, gdy \(\displaystyle{ \Delta <0}\)


Dla \(\displaystyle{ a = 0 \wedge b \neq 0}\) równanie kwadratowe staje się równaniem liniowym, któro posiada \(\displaystyle{ 1}\) rozwiązanie \(\displaystyle{ \left(x= - \frac{c}{b} \right)}\).


Idąc dalej tokiem naszego rozumowania sprawdzamy, co dzieje się, gdy inne współczynniki się zerują; i tak dla \(\displaystyle{ a = 0 \ \wedge \ b = 0}\) mamy \(\displaystyle{ 2}\) możliwości:
\(\displaystyle{ a = 0 \ \wedge \ b = 0 \ \wedge \ c = 0}\) - nieskończenie wiele rozwiązań
oraz
\(\displaystyle{ a = 0 \ \wedge \ b = 0 \ \wedge \ c \neq 0}\) - brak rozwiązań



Podsumowanie:

\(\displaystyle{ \bullet}\) nieskończenie wiele rozwiązań dla:
  • \(\displaystyle{ a=0 \ \wedge \ b=0 \ \wedge \ c=0}\)
\(\displaystyle{ \bullet}\) dwa rozwiązania dla:
  • \(\displaystyle{ a \neq 0 \ \wedge \ \Delta>0}\)
\(\displaystyle{ \bullet}\) jedno rozwiązanie dla:
  • \(\displaystyle{ a \neq 0 \ \wedge \ \Delta=0 \\ a=0 \ \wedge \ b \neq 0}\)
\(\displaystyle{ \bullet}\) brak rozwiązań dla:
  • \(\displaystyle{ a \neq 0 \ \wedge \ \Delta<0 \\ a=0 \ \wedge \ b=0 \ \wedge \ c \neq 0}\)
\(\displaystyle{ \hline}\)
Równanie dwukwadratowe

Równanie dwukwadratowe to szczególny przypadek równania czwartego stopnia \(\displaystyle{ dx^4 + px^3 + ex^2 + qx + f=0}\), gdzie \(\displaystyle{ p=0}\) oraz \(\displaystyle{ q=0}\). Przyjmuje więc postać \(\displaystyle{ dx^4 + ex^2 + f=0}\). Najczęściej dla ułatwienia stosujemy podstawienie \(\displaystyle{ t=x^2}\), więc równanie wygląda następująco: \(\displaystyle{ dt^2 + et + f=0}\). Możemy zauważyć podobieństwo do klasycznego równania kwadratowego, więc ilość rozwiązań będzie zależeć od wyróżnika oraz iloczynu \(\displaystyle{ \left( t_{1} \cdot t_{2}\right)}\) i sumy \(\displaystyle{ \left( t_{1} + t_{2}\right)}\) pierwiastków. Postanowiłem zrobić tabelki, aby ułatwić zrozumienie problemu. Liczby wewnątrz symbolizują ilość rozwiązań równania dwukwadratowego w zależności od podanych warunków.



Pierwiastkami równania dla \(\displaystyle{ \Delta >0}\)\(\displaystyle{ t_{1}}\) oraz \(\displaystyle{ t_{2}}\).

\(\displaystyle{ \begin{center} \begin{tabular}{|c|c|c|c|} \hline \cellcolor{gray!40} \Delta > 0 \wedge d \neq 0 & t_{1} + t_{2} > 0 & t_{1} + t_{2} = 0 & t_{1} + t_{2} < 0 \\ \hline t_{1} \cdot t_{2} > 0 & 4 & - & 0 \\ \hline t_{1} \cdot t_{2} = 0 & 3 & 1 & 1 \\ \hline t_{1} \cdot t_{2} < 0 & 2 & 2 & 2 \\ \hline \end{tabular} \end{center}}\)

Dla \(\displaystyle{ \Delta = 0}\) pierwiastkiem jest \(\displaystyle{ t_{0}}\).

\(\displaystyle{ \begin{center} \begin{tabular}{|c|c|c|c|} \hline \cellcolor{gray!40}d \neq 0 & t_{0} > 0 & t_{0} = 0 & t_{0} < 0 \\ \hline \Delta = 0 & 2 & 1 & 0 \\ \hline \end{tabular} \end{center}}\)

Dla \(\displaystyle{ \Delta < 0 \wedge d \neq 0}\) równanie nie posiada rozwiązań.



Musimy także rozpatrzeć sytuacje, w których \(\displaystyle{ d=0}\). Nasze równanie \(\displaystyle{ \left( dx^4 + ex^2 + f=0\right)}\) przyjmie wtedy postać \(\displaystyle{ ex^2+f=0}\). Posłużę się kolejną tabelką do lepszego zobrazowania omawianej sytuacji.

\(\displaystyle{ \begin{center} \begin{tabular}{|c|c|c|c|} \hline \cellcolor{gray!40}e \neq 0 \wedge d=0 & f_{} > 0 & f_{} = 0 & f_{} < 0 \\ \hline e_{} > 0 & 0 & 1 & 2 \\ \hline e_{} < 0 & 2 & 1 & 0 \\ \hline \end{tabular} \end{center}}\)



Kontynuując nasze rozważania, pozostaje nam tylko do sprawdzenia co się dzieje, gdy zarówno \(\displaystyle{ d=0 \wedge e=0}\). Więc po podstawieniach równanie wygląda tak: \(\displaystyle{ f=0}\). Tutaj już nie ma nic skomplikowanego, ponieważ ostatnie \(\displaystyle{ 2}\) sytuacje, które mogą wystąpić prezentuje kolejna (czwarta z kolei) tabela.

\(\displaystyle{ \begin{center} \begin{tabular}{|c|c|c|} \hline \cellcolor{gray!40}d = 0 & f = 0 & f \neq 0 \\ \hline e = 0 & \infty & 0 \\ \hline \end{tabular} \end{center}}\)



Podsumowanie:

\(\displaystyle{ \bullet}\) nieskończenie wiele rozwiązań dla:
  • \(\displaystyle{ d=0 \ \wedge \ e=0 \ \wedge \ f=0}\)
\(\displaystyle{ \bullet}\) cztery rozwiązania dla:
  • \(\displaystyle{ d \neq 0 \ \wedge \ \Delta>0 \ \wedge \ t_{1} \cdot t_{2} > 0 \ \wedge \ t_{1} + t_{2} > 0}\)
\(\displaystyle{ \bullet}\) trzy rozwiązania dla:
  • \(\displaystyle{ d \neq 0 \ \wedge \ \Delta>0 \ \wedge \ t_{1} \cdot t_{2} = 0 \ \wedge \ t_{1} + t_{2} > 0}\)
\(\displaystyle{ \bullet}\) dwa rozwiązania dla:
  • \(\displaystyle{ d \neq 0 \ \wedge \ \Delta>0 \ \wedge \ t_{1} \cdot t_{2} < 0 \\ d \neq 0 \ \wedge \ \Delta=0 \ \wedge \ t_{0} > 0 \\ d = 0 \ \wedge \ e < 0 \ \wedge \ f > 0 \\ d = 0 \ \wedge \ e > 0 \ \wedge \ f < 0}\)
\(\displaystyle{ \bullet}\) jedno rozwiązanie dla:
  • \(\displaystyle{ d \neq 0 \ \wedge \ \Delta>0 \ \wedge \ t_{1} \cdot t_{2} = 0 \ \wedge \ t_{1} + t_{2} \le 0 \\ d \neq 0 \ \wedge \ \Delta=0 \ \wedge \ t_{0} = 0 \\ d = 0 \ \wedge \ f = 0}\)
\(\displaystyle{ \bullet}\) brak rozwiązań dla:
  • \(\displaystyle{ d \neq 0 \ \wedge \ \Delta>0 \ \wedge \ t_{1} \cdot t_{2} > 0 \ \wedge \ t_{1} + t_{2} < 0 \\ d \neq 0 \ \wedge \ \Delta=0 \ \wedge \ t_{0} < 0 \\ d \neq 0 \ \wedge \ \Delta<0 \\ d = 0 \ \wedge \ e < 0 \ \wedge \ f < 0 \\ d = 0 \ \wedge \ e > 0 \ \wedge \ f > 0 \\ d=0 \ \wedge \ e=0 \ \wedge \ f \neq 0}\)
\(\displaystyle{ \hline}\)
Dotarliśmy już do końca. Mam nadzieję, że temat pomoże wielu osobom, które nie mogą znaleźć tych informacji w sieci na jednej stronie, tylko muszą "skakać" po linkach, aby zgromadzić wiadomości. Wydaje mi się, że zagadnienie zostało omówione dość dokładnie, żeby je zrozumieć i posługiwać się nim przy rozwiązywaniu zadań. Jak już pisałem na początku nie jest to wybitnie trudna matematyka, ale dla gimnazjalisty/licealisty powinna być pomocna. Na koniec proszę was o pisanie priv, jeżeli znajdziecie jakikolwiek błąd.

Pozdrawiam!

superos
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5
Rejestracja: 27 sty 2014, o 14:43
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska

Rozwiązania równania kwadratowego i dwukwadratowego

Post autor: superos » 31 sty 2014, o 10:10

a ta funkcja dwukwadratowa nie zamienia się tylko na t?

aska397
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1
Rejestracja: 25 lis 2015, o 20:07
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: polska

Rozwiązania równania kwadratowego i dwukwadratowego

Post autor: aska397 » 25 lis 2015, o 20:12

mortan517, witam, czy ma Pan może założenia do zadań z parametrem z wielomianami do 3-ciej potęgi? widziałam, że ma Pan super opisane do 4-tej i 2-giej, dlatego szukam gdzieś do 3-ciej, ale nie potrafię znaleźć :C

a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 17184
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 2890 razy

Rozwiązania równania kwadratowego i dwukwadratowego

Post autor: a4karo » 25 lis 2015, o 20:16

Pytanie podstawowe: czy równanie \(\displaystyle{ x+5=0}\) jest równaniem kwadratowym? Moim zdaniem nie jest. W definicji równania kwadratowego należy zatem dołożyc założenia, że \(\displaystyle{ a\neq 0}\) i ograniczyć analizę tylko do takich przypadków.

Awatar użytkownika
mortan517
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3360
Rejestracja: 6 lis 2011, o 15:38
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Krk
Podziękował: 112 razy
Pomógł: 662 razy

Rozwiązania równania kwadratowego i dwukwadratowego

Post autor: mortan517 » 25 lis 2015, o 20:38

a4karo,
Dla \(\displaystyle{ a = 0 \wedge b \neq 0}\) równanie kwadratowe staje się równaniem liniowym, któro posiada 1 rozwiązanie \(\displaystyle{ \left(x= - \frac{c}{b} \right)}\)
Pisząc to dwa lata temu, wydawało mi się wystarczające


aska397, szukaj haseł wzory Cardano, równanie sześcienne. W internecie jest pełno materiałów. Nawet ktoś na tym forum chyba to analizował, ale teraz nie znajdę.

a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 17184
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 2890 razy

Rozwiązania równania kwadratowego i dwukwadratowego

Post autor: a4karo » 25 lis 2015, o 20:54

Moim zdanie pisanie, ze \(\displaystyle{ bx+c=0}\) jest szczególnym przypadkiem równania kwadratowego i analizowanie go w tym kontekście jest mało trafne, bo niby dlaczego ma byc równaniem kwadratowym, a nie równaniem trzeciego stopnia.

sądzę,że wykluczenie tego przypadku uczyniłoby wywód dużo jaśniejszym, logiczniejszym i łatwiejszym do ogarnięcia. Podobnie jak przypadek równania dwukwadratowego przy \(\displaystyle{ d=0}\).

ODPOWIEDZ