Dla jakiego m równanie ma rozwiązanie?

[henryy1991]

Witam. Nie mogę dobrze rozwiązać tego zadania, może ktoś pokazać jak to zrobić?? Jestem blisko końca ale wychodzi mi wielomian 4 stopnia i nie daje rady za bardzo;/ Książka podaje że wynik to: \(\displaystyle{ m\in \left<-\sqrt{2} ; \sqrt{2}\right>}\)

" Dla jakich wartości parametru m równanie:
\(\displaystyle{ \frac{2x}{x^2+1}=m^2-1}\)
ma rozwiązanie??

[Lbubsazob]

\(\displaystyle{ 2x=\left( m^2-1\right)\left( x^2+1\right) \\
\left( m^2-1\right)x^2-2x+m^2-1=0}\)
Żeby to miało rozwiązanie, musi być \(\displaystyle{ \Delta \ge 0}\), czyli \(\displaystyle{ 4-4\left( m^2-1\right)^2\ge 0}\). Z tego mamy:
\(\displaystyle{ 4 \ge 4\left( m^2-1\right)^2 \\
1 \ge \left( m^2-1\right)^2 \\
\left( m^2-1\right)^2-1 \le 0 \\
\left( m^2-1-1\right)\left( m^2-1+1\right) \le 0 \\
m \in \left<-\sqrt2, \sqrt2 \right>}\)

[kamil13151]

Czy nie powinniśmy oddzielnie sprawdzić przypadku kiedy współczynnik kierunkowy wynosi 0? Wydaje mi się, że tak.

[piti-n]

Racja, racja. dla m=1 i m=-1 też jest rozwiązanie

[Lbubsazob]

Musi być, bo przecież \(\displaystyle{ 1}\) i \(\displaystyle{ -1}\) należą do przedziału \(\displaystyle{ \left<-\sqrt2, \sqrt2 \right>}\).

[piti-n]

Niewyspanie robi swoje

Wakacje też :]

[henryy1991]

dzięki za rozwiązanie;) już wszystko wiem. nie zauważyłem po prostu że to wyrażenie można sobie tak fajnie przekształcić i kombinowałem nie wiadomo jak xD

\(\displaystyle{ \\ \left( m^2-1\right)^2-1 \le 0 \\ \left( m^2-1-1\right)\left( m^2-1+1\right) \le 0 \\}\)-- 14 sie 2011, o 09:49 --Byłbym jeszcze wdzięczny jakby ktoś opisał mi szczegółowo w jaki sposób rysować te uproszczone wykresy funkcji do wyznaczania przedziałów rozwiązania. tzn chodzi mi głównie o to kiedy wykres odbija się od osi liczbowej, bo osobiście to wiem tylko tyle że zaczynamy rysować od prawej i patrzymy na to czy współczynnik a jest < czy > od 0 i od tego zależy czy rysujemy w górę czy w dół, ale kiedy się to odbija od osi??

problem mój tkwi w tym ze miałem matmę na poziomie podstawowym a teraz idę na studia budowlane więc muszę nadrobić zaległości.

[kamil13151]

Musi być, bo przecież \(\displaystyle{ 1}\) i \(\displaystyle{ -1}\) należą do przedziału \(\displaystyle{ \left<-\sqrt2, \sqrt2 \right>}\).

Pomimo tego, że należą, to wydaje mi się, że jednak trzeba zrobić oddzielnie dla współczynnika równego 0.

henryy1991, odbija się od osi, gdy pierwiastek jest parzysto-krotny.