Matematyka.pl

Monotoniczność funkcji kwadratowej

Witam,
w różnych przypadkach (stary podręcznik, internetowe strony, nauczycielka matematyki na lekcji) spotykam się z różnym zapisem, dlatego proszę o wyjaśnienie czy przy określaniu przedziałów monotoniczności mamy przy \(\displaystyle{ \frac{ -b}{2a}}\)pisać przedział domknięty czy otwarty?

Np., czy prawidłowe jest rozwiązanie takiego przykładu: \(\displaystyle{ f(x) = 2x^2 + 8x -10}\):
funkcja maleje dla \(\displaystyle{ x \in (- \infty ; -2]}\)
funkcja rośnie dla \(\displaystyle{ x in [-2; + infty )}\)

Wg mnie przy liczbie -2 powinien być otwarty, ponieważ w tym punkcie funkcja ani nie rośnie ani nie maleje przecież, powiedziałabym że w tym punkcie jest stała.

Proszę o wyjaśnienie dlaczego często ten przedział jest jednak domknięty i jaki w końcu powinien być: otwarty czy domknięty.

Ja na lekcjach miałem żeby zostawiać otwarte \(\displaystyle{ (x, y)}\)

Z definicji monotoniczności wynika, że takie rozwiązanie jest poprawne. Spróbuj wpisać w wyszukiwarce wyrażenie maksymalne przedziały monotoniczności, wyniki powinny być zadowalające.

ponieważ w tym punkcie funkcja ani nie rośnie ani nie maleje przecież, powiedziałabym że w tym punkcie jest stała.

definicja monotoniczności funkcji odnosi się do dwóch punktów

Styczna do wierzchołka paraboli jest pozioma, więc \(\displaystyle{ f'(x_o)=0}\)
funkcja rośnie \(\displaystyle{ f'(x)>0}\)
funkcja maleje \(\displaystyle{ f'(x)<0}\)
Wniosek stąd taki że przedziały otwarte

Ten problem zauważyłem na poziomie gimnazjalnym, gdzie odczytuje sie przedziały monotoniczności z wykresu

Dziękuję wszystkim za odpowiedzi.
Poczytałam o tych tajemniczych "maksymalnych przedziałach monotoniczności" i przy okazji dowiedziałam się, że nadal do dziś nie ma "decyzji" w tej sprawie, podobnie jak w tej czy zero zaliczać do liczb naturalnych czy nie.
Jednak kiedy w treści zadania pojawi się sformułowanie podaj "maksymalne przedziały monotoniczności", to wówczas już wiem, że należy podać domknięte.

Moje pytanie pojawiło się głównie w związku z egzaminem maturalnym.

Podczas poszukiwania informacji na temat "maksymalnych przedziałów monotoniczności" natrafiłam na forum, na którym ktoś sugerował, żeby (dla bezpieczeństwa) kierować się schematem oceniania stosowanym przez CKE. Tak więc oto w kryteriach oceniania matury z 2011r. rzeczywiście jest o tym mowa (przy zad. nr 26). Wg CKE obie formy (przedział otwarty lub domknięty) są poprawne.

No to już wszystko wiemy.

Jeszcze raz dziękuję za pomoc.-- 11 lip 2011, o 17:32 --Jeśli chodzi o uwagę Chromosoma odnośnie symboli używanych do zapisu przedziału domkniętego

symbole <, > służą do zapisywania relacji porządku liniowego, nie przedziału domkniętego

Nie chcę się sprzeczać, w każdym razie ja się spotkałam z nawiasem ostrym LUB nawiasem kwadratowym.

Jakby nie było, to w kryteriach oceniania (chociażby w zad. właśnie 26), do których link podałam powyżej, CKE stosuje nawiasy takie, jakich ja użyłam na początku, czyli ostre, więc to chyba nie był błąd.

Dziękuję za pomoc odnośnie maksymalnych przedziałów monotoniczności.

Inkwizytor, powinieneś jeszcze uwzględnić fakt, że jeśli w danym przedziale pochodna jest tego samego znaku (załóżmy dodatniego), przy czym ma skończenie wiele miejsc zerowych, to funkcja jest w tym przedziale monotoniczna. Przykładem może być funkcja \(\displaystyle{ f(x)=x^3}\), która jest stale rosnąca w swojej dziedzinie naturalnej, pomimo że pochodna ma miejsce zerowe. Z tego samego faktu wynika, że w przypadku funkcji kwadratowej obecność odosobnionego miejsca zerowego pochodnej w przedziale domkniętym (na krańcu tego przedziału) nie wiąże się z tym, że funkcja nie jest w tym przedziale rosnąca. Z definicji monotoniczności łatwo jest zresztą uzyskać taki wynik.

Nie wgłębiałem się w nieporozumienia związane z przedziałami, niemniej jednak bardziej zgodna z definicją wydaje się być wersja z przedziałami domkniętymi. Chętnie natomiast zapoznam się z argumentami stojącymi za stosowaniem przedziałów otwartych - możesz podać odnośnik.

Przedział domknięty istotnie można oznaczać przez nawiasy nazwane przez Ciebie ostrymi, ale nie jako <, >, tylko jako leftlangle,
ight
angle. Wydaje mi się jednak że łatwiej jest zastosować nawiasy kwadratowe, na ogół zalecam więc taki zapis.

Chromosom oczywiście stosowałem wielki skrót myślowy, by pokazac o co mi chodzi. Liczyłem na domyślność w tej kwestii. Wszak nie chodziło o pisanie wstepu do analizy matematycznej.
Poza tym odnosiłem się konkretnie tylko do funkcji kwadratowej, bo tego tyczyło się pytanie Fatiny.
Dla mnie decyzja CKE o uznawaniu obu wersji odp jest kolejną porażką reformy edukacyjnej. Wyrzucono pochodne z programu nauczania i "aby nie wprowadzać zamieszania dla świętego spokoju uznajmy to za obojętne." Taka niejednoznaczność jest wg. mnie bardzo niematematyczna i pachnie trochę amatorszczyzną, bylejakością. To nie kwestia umownej symboliki typu: czy nawias domknięty zapiszemy jako "[" , "<".

Chętnie natomiast zapoznam się z argumentami stojącymi za stosowaniem przedziałów otwartych - możesz podać odnośnik

Przecież cała część analizy matematycznej związana z ciągłością i różniczkowalnością funkcji opiera się na przedziałach obustronnie otwartych \(\displaystyle{ x \in (a,b)}\)

Pod koniec liceum liceum nauczycielka zwracała uwagę, że gdy proszą w poleceniu o podane maksymalnych przedziałów monotoniczności, to wtedy należy nawiasy domykać. W przeciwnym wypadku bez większego znaczenia.
Chociaż przez pierwsze 2 lata była tendencja, że jak się w jednym przedziale nawias domyka, to w drugim się otwiera, czyli np.:
funkcja maleje dla \(\displaystyle{ x \in (- \infty ; -2]}\)
funkcja rośnie dla \(\displaystyle{ x \in (-2; + \infty )}\)


Generalnie to rzecz umowna, na którą należy jedynie zwracać uwagę w przypadku pisania matury (i to pewnie nie zawsze jest różnicowane).

Jeszcze raz - bo już w jakimś wątku było.

,,Maksymalne" wprowadzono tylko dlatego aby uczeń nie podał jakiegoś kawałka przedziału w którym funkcja jest np rosnąca.
Na polecenie ,,podaj przedział w którym funkcja rośnie" - dał by odpowiedź \(\displaystyle{ (1;2)}\) (i miałby ok) pomimo, że rosłaby dla \(\displaystyle{ (1;3)}\).

Na maturze było ,,o maksymalnej długości" zatem wersje z domykaniem czy nie były ok.

Co do kwadratowej (i innych też), to są trzy rodzaje poleceń :
1) podaj maksymalny przedział gdzie funkcja rośnie (tu bym domykał);

2) podaj przedziały (i nie ma tu znaczenia czy maksymalne) monotoniczności (tu bym nie domykał);

3) podaj przedział o maksymalnej długości gdzie funkcja rośnie (mamy dowolność).

Zamiast stosować jakieś magiczne regułki wystarczy się przyjrzeć definicji monotoniczności.


Funkcja \(\displaystyle{ f(x)=x^2}\) jest malejąca zarówno na \(\displaystyle{ (-\infty,0)}\) jak i na \(\displaystyle{ (-\infty,0]}\).
Stwierdzenie "o maksymalnej długośći" nic nie wnosi, bo po dodaniu jednego punktu długość odcinka się nie zmienia.

Niech teraz \(\displaystyle{ g(x)=\begin{cases} x&x<0\\x-1&x\geq 0\end{cases}}\). Ta funkcja jest rosnąca na \(\displaystyle{ (-\infty,0)}\) ale nie jest rosnąca na \(\displaystyle{ (-\infty,0]}\)

Matematyka to nie regułki wyuczone na pamięć.