Wyznacz wartości p i q tak, aby p i q były pierw. równania

Zagadnienia dot. funkcji kwadratowej. RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI kwadratowe i pierwiastkowe. Układy równań stopnia 2.
offtyper
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 31
Rejestracja: 19 lis 2010, o 22:08
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 9 razy

Wyznacz wartości p i q tak, aby p i q były pierw. równania

Post autor: offtyper » 9 maja 2011, o 17:52

Witam. Mam problem z zadaniem. Oto treść:

Wyznacz wartości p i q tak, aby p i q były pierwiastkami równania \(\displaystyle{ x ^{2} +px + q = 0}\)

Rozumiem, że muszą być spełnione nast. warunki:
1. wsp. przy najwyzszej potedze rozny od zera,
2. delta wieksza lub rowna od 0
3. \(\displaystyle{ x _{1} \cdot x _{2} = p \cdot q}\)
4. \(\displaystyle{ x _{1} + x _{2} = p + q}\)

Ale nie potrafię tego przekształcić. Proszę o pomoc.

Pozdrawiam.
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

chuckstermajster
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 178
Rejestracja: 29 kwie 2011, o 15:23
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Sosnowiec
Podziękował: 2 razy
Pomógł: 23 razy

Wyznacz wartości p i q tak, aby p i q były pierw. równania

Post autor: chuckstermajster » 9 maja 2011, o 18:09

Wzory Viete'a.

\(\displaystyle{ x _{1} + x _{2} = \frac{-b}{a} = -p}\)


\(\displaystyle{ x _{1} \cdot x _{2} = \frac{c}{a} = q}\)

Podstawiasz do czwartego i trzeciego warunku i rozwiązujesz układ równań. Choć mogę się mylić ;)

offtyper
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 31
Rejestracja: 19 lis 2010, o 22:08
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 9 razy

Wyznacz wartości p i q tak, aby p i q były pierw. równania

Post autor: offtyper » 9 maja 2011, o 18:15

Tak dokładnie, do tego jeszcze doszedłem, ale nie wiem co dalej. Mam taki układ równań:

\(\displaystyle{ \begin{cases} p,q \in R \\ p ^{2} - 4q \ge 0 \\ q=pq \\ -p=p+q \end{cases}}\)

I właśnie dalej nie mam pojęcia co robić ;(

Awatar użytkownika
janka
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 369
Rejestracja: 28 lut 2011, o 00:59
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Kluczbork
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 79 razy

Wyznacz wartości p i q tak, aby p i q były pierw. równania

Post autor: janka » 9 maja 2011, o 18:40

rozwiąż układ \(\displaystyle{ p+q=-p}\)
\(\displaystyle{ p \cdot q=q}\)

2p+q=0
pq-q=0

q(p-1)=0,stąd q=0 lub p=1

dla q=0 ,p=0 mamy więc równanie \(\displaystyle{ x ^{2}=0}\), delta=0

dlap=1 ,q=-2 mamy drugie równanie \(\displaystyle{ x ^{2}+x-2=0}\) delta>0
Ostatnio zmieniony 9 maja 2011, o 18:48 przez janka, łącznie zmieniany 1 raz.

Awatar użytkownika
kristoffwp
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 687
Rejestracja: 28 gru 2009, o 00:13
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bielsko - Biała
Podziękował: 20 razy
Pomógł: 88 razy

Wyznacz wartości p i q tak, aby p i q były pierw. równania

Post autor: kristoffwp » 9 maja 2011, o 18:47

Najlepiej zacząć od zadania sobie pytania:
Czy ja wiem, co to znaczy, że liczba jest rozwiązaniem równania. Jeżeli nie, to bardzo niedobrze.

kamil13151
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 5019
Rejestracja: 28 wrz 2009, o 16:53
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 459 razy
Pomógł: 912 razy

Wyznacz wartości p i q tak, aby p i q były pierw. równania

Post autor: kamil13151 » 9 maja 2011, o 18:56

Czy przypadkiem nie ma być \(\displaystyle{ p \neq q \Rightarrow \Delta >0}\) ?

chuckstermajster
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 178
Rejestracja: 29 kwie 2011, o 15:23
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Sosnowiec
Podziękował: 2 razy
Pomógł: 23 razy

Wyznacz wartości p i q tak, aby p i q były pierw. równania

Post autor: chuckstermajster » 9 maja 2011, o 19:00

No ale \(\displaystyle{ \Delta \ge 0}\). W treści nie ma nic o tym, że to mają być dwa różne pierwiastki.

kamil13151
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 5019
Rejestracja: 28 wrz 2009, o 16:53
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 459 razy
Pomógł: 912 razy

Wyznacz wartości p i q tak, aby p i q były pierw. równania

Post autor: kamil13151 » 9 maja 2011, o 19:06

chuckstermajster,
były pierwiastkami równania
tutaj jest liczba mnoga.

offtyper
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 31
Rejestracja: 19 lis 2010, o 22:08
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 9 razy

Wyznacz wartości p i q tak, aby p i q były pierw. równania

Post autor: offtyper » 9 maja 2011, o 19:08

\(\displaystyle{ \begin{cases} p ^{2} - 4p \ge 0 \\ q(p-1) = 0 \\ 2p+q = 0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} p ^{2} - 4p \ge 0 \\ q = 0 \\ 2p+q = 0 \end{cases} \vee \begin{cases} p ^{2} - 4p \ge 0 \\ p=1 \\ 2p+q = 0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} p ^{2} - 4p \ge 0 \\ q = 0 \\ p = 0 \end{cases} \vee \begin{cases} p ^{2} - 4p \ge 0 \\ p=1 \\ q=-2 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} 0 \ge 0 \\ q = 0 \\ p = 0 \end{cases} \vee \begin{cases} 9 \ge 0 \\ p = 1 \\ q=-2 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} q=0 \\ p=0 \end{cases} \vee \begin{cases} q=1 \\ p=-2 \end{cases}}\)

Wyszło mi jak w odpowiedziach. Czy takie rozwiązanie jest poprawne?? Chodzi mi głównie o to, że alternatywę w jednym układzie rozbiłem na alternatywę dwóch układów. [q(p-1) czyli q=0 lub p =1]

-- 9 maja 2011, o 20:10 --
kamil13151 pisze:chuckstermajster,
były pierwiastkami równania
tutaj jest liczba mnoga.
Tak, ale te pierwiastki nie muszą być różne, zatem delta = 0 też spełnia warunki zadania. (bo przy dlecie = 0 równanie posiada jeden pierwiastek dwukrotny!)

chuckstermajster
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 178
Rejestracja: 29 kwie 2011, o 15:23
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Sosnowiec
Podziękował: 2 razy
Pomógł: 23 razy

Wyznacz wartości p i q tak, aby p i q były pierw. równania

Post autor: chuckstermajster » 9 maja 2011, o 19:19

Tak, ale te pierwiastki nie muszą być różne, zatem delta = 0 też spełnia warunki zadania. (bo przy dlecie = 0 równanie posiada jeden pierwiastek dwukrotny!)
Dokładnie.

Co do zapisu, to nie wiem czy jest dobry - nie znam się na tyle na formalnych procedurach. Mogę jedynie powiedzieć, że dla mnie osobiście jest mało czytelny (co wcale nie musi oznaczać, że formalnie niepoprawny)

kamil13151
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 5019
Rejestracja: 28 wrz 2009, o 16:53
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 459 razy
Pomógł: 912 razy

Wyznacz wartości p i q tak, aby p i q były pierw. równania

Post autor: kamil13151 » 9 maja 2011, o 19:39

[quote]Tak, ale te pierwiastki nie muszą być różne, zatem delta = 0 też spełnia warunki zadania. (bo przy dlecie = 0 równanie posiada jeden pierwiastek dwukrotny!)[/quote]

W zadaniu jest pierwiastki, a nie pierwiastek!

Pierwiastek dwukrotny nie równa się pierwiastkom. Tak nawiasem mówiąc to jeżeli chcesz użyć wzory Viete'a to warunkiem koniecznym jest \(\displaystyle{ \Delta > 0}\) i tutaj sypie się Twoja teza o delcie równej zero.

offtyper
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 31
Rejestracja: 19 lis 2010, o 22:08
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 9 razy

Wyznacz wartości p i q tak, aby p i q były pierw. równania

Post autor: offtyper » 9 maja 2011, o 19:49

Eeeee, przepraszam, ale dlaczego według Ciebie wzory viete'a stosuje się tylko wtedy, gdy \(\displaystyle{ \Delta>0}\)??

Oczywiste jest, że wtedy gdy \(\displaystyle{ \Delta \ge 0}\). Proszę, pierwszy lepszy link: http://www.bazywiedzy.com/wzory-vietea.php Drugi: http://uczniowie.lo-zywiec.pl/~nielot/2 ... yvieta.htm

Pierwiastek dwukrotny nie równa sie pierwiastkom, ale jest traktowany jako dwa pierwiastki, tyle że takie same. Jeżeli nie jest wyraźnie zaznaczone, że chodzi o 2 różne pierwiastki, przyjmuje się deltę większą lub równa 0.

Zatem moja teza o delcie równej zero się nie sypie (pomijając że to nie teza, tylko fakt). Za to Twoja teza nie ma się za dobrze.

P.S. Prosiłbym kogoś, żeby sprawdził moje rozwiązanie.

kamil13151
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 5019
Rejestracja: 28 wrz 2009, o 16:53
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 459 razy
Pomógł: 912 razy

Wyznacz wartości p i q tak, aby p i q były pierw. równania

Post autor: kamil13151 » 9 maja 2011, o 20:02

Jednak się pomyliłem z tymi wzorami Viete'a, kiedyś mi coś tam obiło, ale chyba to błędne było. Przepraszam ;). Ale co do pierwiastków a pierwiastek dwukrotny dalej się upierać będę. Teza to również założenie ( http://pl.wikipedia.org/wiki/Teza )

offtyper
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 31
Rejestracja: 19 lis 2010, o 22:08
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 9 razy

Wyznacz wartości p i q tak, aby p i q były pierw. równania

Post autor: offtyper » 9 maja 2011, o 20:13

No dobra dobra, nie ma sprawy

Tylko jak wytłumaczyć fakt, że w odpowiedziach jest p=0 i q=0. Jeżeli delta byłaby większa od zera, to odpada taka możliwość (wyjdzie w pierwszym układzie 0>0, czyli sprzeczność).

Odrzucam opcję błędu w odpowiedziach, nasz nauczyciel systematycznie je wskazuje i poprawia.

chuckstermajster
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 178
Rejestracja: 29 kwie 2011, o 15:23
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Sosnowiec
Podziękował: 2 razy
Pomógł: 23 razy

Wyznacz wartości p i q tak, aby p i q były pierw. równania

Post autor: chuckstermajster » 9 maja 2011, o 20:44

Ale co do pierwiastków a pierwiastek dwukrotny dalej się upierać będę.
Niesłusznie. Jest liczba mnoga, bo odnosi się do p i q. Gdyby była liczba pojedyncza, to wykluczałaby drugą możliwą odpowiedź z różnymi pierwiastkami. Są pierwiastkami = q jest pierwiastkiem i p jest pierwiastkiem. Nie można tego inaczej sformułować. Warunki zadania są spełnione - q jest pierwiastkiem i wynosi 0 oraz p jest pierwiastkiem i wynosi 0, więc p i q SĄ PIERWIASTKAMI - to czy takimi samymi, czy różnymi to już Twoje (nieuprawnione) domyślne założenie. W języku potocznym można stosować domysły, język matematyczny jest precyzyjny.

ODPOWIEDZ