Układ równań 3 niewiadome

zenek29 · Post autor: **zenek29** » 12 kwie 2011, o 21:26

Witam, mam mały problem z układem równań:

2x+y-z=-2
-2x-2y+z=2
6x+y-3z=-6

Ostatnio na egzaminie był taki, na poprzednich były podobne, juz mówię w czym rzecz, nie mogę sobie z nim poradzić, na początku próbowałem normalnie go rozwiązać z wyznaczników, lecz zawsze wychodzi sprzeczność, (chyba tak się na to mówi) więc zacząłem grzebać po internecie na waszym forum doszukałem się sposobu poprzez macierz odwrotną lecz i w tym przypadku jest to niemożliwe dla mnie do wykonania, na końcu próbowałem metodą Sarrusa, ale z wyznaczników zawsze wychodzi 0, nie wiem czy możliwe jest to że nie układ nie ma rozwiązań? że jest niewłaściwy. I czy jest to możliwe że na 2 egzaminach te 2 pkt za zadanie byłyby takie łatwe do zdobycia. Jeśli jest tak jak piszę, to proszę również o wytłumaczenie jak to udowodnić najłatwiej. A jeśli się myle to jak to rozwiązać

Z góry dziekuje i pozdrawiam zenek

Quaerens · Post autor: **Quaerens** » 12 kwie 2011, o 21:29

gaussem ciśnij

ElEski · Post autor: **ElEski** » 12 kwie 2011, o 21:55

zenek29,
Dodaj pierwsze i drugie równanie stronami ----> y wychodzi równe 0.
Teraz przepisujesz układ, tylko kasując y.
2x-z=-2, stąd z=2x+2.
Szybko sprawdzasz, że jeśli z=2x+2, to układ równać jest "OK".
Stąd rozwiązaniami układu są liczby y=0, x i z= 2x+2.

Hm, mam rację? Czy poszło za prosto :<?

zenek29 · Post autor: **zenek29** » 12 kwie 2011, o 22:20

ElEski pisze:zenek29,
Dodaj pierwsze i drugie równanie stronami ----> y wychodzi równe 0.
Teraz przepisujesz układ, tylko kasując y.
2x-z=-2, stąd z=2x+2.
Szybko sprawdzasz, że jeśli z=2x+2, to układ równać jest "OK".
Stąd rozwiązaniami układu są liczby y=0, x i z= 2x+2.

Hm, mam rację? Czy poszło za prosto :<?

dobrze, idźmy dalej Twoim tropem: y=0 ; z=2x+2

zatem podstawiając na przykład do 3 mamy:

6x+y-3z=-6 czyli
6x+0-3(2x+2)=-6
6x-6x-6=-6
0=0

norwimaj · Post autor: **norwimaj** » 12 kwie 2011, o 22:43

zenek29 pisze: dobrze, idźmy dalej Twoim tropem: y=0 ; z=2x+2

To już jest wynik: \(\displaystyle{ y=0,z=2x+2}\), gdzie \(\displaystyle{ x}\) to parametr. Żeby zobaczyć że to już jest wynik, to podstaw to do równań i zobacz że wszystko się zgadza.

zenek29 pisze: zatem podstawiając na przykład do 3 mamy:

6x+y-3z=-6 czyli
6x+0-3(2x+2)=-6
6x-6x-6=-6
0=0

O właśnie. Nie ma sprzeczności.

zenek29 · Post autor: **zenek29** » 13 kwie 2011, o 09:18

No własnie i tutaj widać moje zaległości z gimnazjum i technikum, myślałem że nie może sie równać 0=0 i przez to traciłem łatwe pkt na zadaniu,
ok, czyli jak teraz dostane takie zadanie to mam rozumiec ze 3 linijki wystarczą, a na końcu napisac że x jest dowolne czyli parametr?

Dzieki wielkie

Quaerens · Post autor: **Quaerens** » 13 kwie 2011, o 09:40

Eliminacja gaussa, tutaj Ci wszystko wychodzi bez żadnego domysłu....... Spróbuj sobie dla treningu....

gosiarozn · Post autor: **gosiarozn** » 13 kwie 2011, o 10:06

a klasyczna metoda?

Quaerens · Post autor: **Quaerens** » 13 kwie 2011, o 10:08

gosiarozn pisze:a klasyczna metoda?

Klasyczna to znaczy jaka?

norwimaj · Post autor: **norwimaj** » 13 kwie 2011, o 16:32

Jak najbardziej eliminacja Gaussa jest metodą standardową. Powyższe rozwiązanie jest inne, niż się zazwyczaj pisze. Zwykle się to robi tak jak poniżej, chociaż to jest prawie to samo.

\(\displaystyle{ \left(
\begin{array}{rrrr}
2&1&-1&-2\\
-2&-2&1&2\\
6&1&-3&-6
\end{array}
\right)
\to
\left(
\begin{array}{rrrr}
2&1&-1&-2\\
0&1&0&0\\
0&2&0&0
\end{array}
\right)
\to
\left(
\begin{array}{rrrr}
2&0&-1&-2\\
0&1&0&0\\
0&0&0&0
\end{array}
\right)}\).

Różnica jest taka, że w tamtym sposobie tylko wywnioskowaliśmy coś z układu równań i w zasadzie na koniec powinniśmy sprawdzić, czy otrzymany wynik jest poprawny. Tutaj przekształcamy układ równań, za każdym razem otrzymując układ równań równoważny poprzedniemu.