Matematyka.pl

witam mam problem z zadaniem.
oto ono:
obliczyć najmniejszą i największą wartość funkcji f(x,y)= \(\displaystyle{ x^{2}- y^{2}}\) na kole o srodku S=(0,0) i promieniu 5.
z góry dziekuje za pomoc

Gdzie się konkretnie zacinasz ?

Bez liczenia mogę Ci powiedzieć \(\displaystyle{ f(0,5)}\) i \(\displaystyle{ f(5,0)}\). Teraz udowodnij, że tak jest na prawdę (nawet nie trzeba liczyć pochodnych etc.).



Pozdrawiam.

w tym problem ze nie wiem jak to zapisac tzn, jak to udownic moze jakies wskazówki

Jak to koło narysujesz i się przyjrzysz to zobaczysz że:
1.Największa wartość może być przyjęta w punktach (-5;0) i (5;0) i wynosi ona ...
2.Najmniejsza wartość może być przyjęta w punktach (0;5) i (0;-5) i wynosi ona ...

Szukasz maksimum/minimum tej funkcji na kole. Wiesz, że \(\displaystyle{ x ^{2} \ge 0}\) i \(\displaystyle{ y^{2} \ge 0}\). Masz znaleźć maksimum/minimum wyrażenia \(\displaystyle{ x^{2}-y^{2}}\) dla liczb x,y spełniających nierówność \(\displaystyle{ x ^{2}+y ^{2} \le 25}\)
Funkcja osiągnie maksimum gdy \(\displaystyle{ x^{2}}\) będzie możliwie największe a \(\displaystyle{ y^{2}}\) możliwie najmniejsze. \(\displaystyle{ x^{2}}\) może wynosić najwyżej 25 (\(\displaystyle{ 5^{2}}\)) a \(\displaystyle{ y^{2}}\) może wynosić najmniej 0. Stąd wartość maksymalna funkcji wynosi \(\displaystyle{ 25-0=25}\)
Funkcja osiągnie minimum gdy \(\displaystyle{ y^{2}}\) będzie możliwie największe a \(\displaystyle{ x^{2}}\) możliwie najmniejsze. \(\displaystyle{ y^{2}}\) może wynosić najwyżej 25 (\(\displaystyle{ 5^{2}}\)) a \(\displaystyle{ x^{2}}\) może wynosić najmniej 0. Stąd wartość minimalna funkcji wynosi \(\displaystyle{ 0-25=-25}\)

Oczywiście można to robić w tradycyjny sposób- tylko po co? Aha i taka metoda nie zawsze działa- ale w takim przykładzie aż szkoda bawić się w pochodne.



Pozdrawiam.